Köldökzsinór

[G.Á]

A kérdésem az lenne, hogy miközben elhalad a bolygó mellett, a haladási irányához képest merre fog mutatni az űrhajó orra? Megmarad az eredeti irányban, vagy követi a mozgás irányát, vagy pedig a kettő között?

Marad az eredeti irányban.

[Zsolt68]

Marad az eredeti irányban.

Erről nekem a villamosmérnök induló jutott eszembe. De nem a hivatalos, hanem az alternatív. (Egyetlen összetett szó ismételgetése az egész. Azta...)

Nézzük inkább az Utikalauz szerint.
Az űrhajó hirtelen változzon egy baromi hosszú kötéllé.

----------

Tegyük fel, hogy a geostacionárius pályán lebegő űrhajómból golyókat dobálok kifelé, a szökési sebességnél gyorsabban. Mondjuk kidobok 100 golyót, szabályosan azonos időnként. Aztán a következő sorozat golyóit rövidebb követési idővel indítom. Határértékben pedig tartok a kezdeti sebességből adódó legrövidebb követési időhöz.
Innen már csak egy lépés, hogy a rágógumi golyók összetapadnak.

Fenntartod a véleményedet?

[G.Á]

A kérdésem az lenne, hogy miközben elhalad a bolygó mellett, a haladási irányához képest merre fog mutatni az űrhajó orra? Megmarad az eredeti irányban, vagy követi a mozgás irányát, vagy pedig a kettő között?

Marad az eredeti irányban.

Bocsánat, helyesbítem magam. Ami megmarad a geodetikusok mentén való eltolások esetén, az az érintővektorok párhuzamossága.
Emiatt persze a geodetikuson mozgó akármilyen test, aminek az eleje a geodetikussal párhuzamos irányba mutat kezdetben, az ilyen (párhuzamos) irányba is fog mutatni később.
(Persze görbült téridőben éppen ez jelenti azt, hogy megtartja az eredeti irányát.)

[Zsolt68]

(Persze görbült téridőben éppen ez jelenti azt, hogy megtartja az eredeti irányát.)

Ajólovaskatonának! (Ez a másik alternatív "induló".)
Egyesek meg azt állítják (például Korom Gyula hívei), hogy a Hold nem is forog.

----------

Alkossunk valamit a szám-misztika hívei részére is.

Egy klasszikus tömegpont mozgása:
[Renderelés ... \mathcal{L} = \dfrac{1}{2} m \cdot (\dot{r})^2 - m \cdot \dfrac{M \cdot G}{r}]\mathcal{L} = \dfrac{1}{2} m \cdot (\dot{r})^2 - m \cdot \dfrac{M \cdot G}{r}

Két független tömegpont mozgása esetén indexelni kell a tömegeket és a koordinátákat:
[Renderelés ... \mathcal{L} = \dfrac{1}{2} (m_1 \cdot (\dot{r}_1)^2 + m_2 \cdot (\dot{r}_2)^2 ) - M \cdot G \cdot ( \dfrac{m_1}{r_1}+ \dfrac{m_2}{r_2} )]\mathcal{L} = \dfrac{1}{2} (m_1 \cdot (\dot{r}_1)^2 + m_2 \cdot (\dot{r}_2)^2 ) - M \cdot G \cdot ( \dfrac{m_1}{r_1}+ \dfrac{m_2}{r_2} )

Merev test esetén kell egy kényszerfeltétel is.
Mondjuk legyen egy súlyzó, amit súlytalan (azaz tömeg nélküli) rúd köt össze. Tehát az egyenletet ki kell egészíteni:
[Renderelés ... -k \cdot (r_2^2 - r_1^2 - l^2)]-k \cdot (r_2^2 - r_1^2 - l^2)
Ahol l a rúd hossza, k pedig a kényszerfeltétel.

Persze elképzelhetünk rugalmas összekötést is. Sokak számára ez a forma ismerősebbnek tűnhet.
[Renderelés ... -\dfrac{1}{2} D \cdot ( r_2 - r_1 )^2]-\dfrac{1}{2} D \cdot ( r_2 - r_1 )^2

Lehet próbálkozni a mozgási egyenletek felírásával, ha van rá vállalkozó.

Nekem az egyenlet megoldása nélkül az jön ki, hogy az első pont előrébb járna a saját parabola/hiperbola pályáján, mármint a kényszerfeltétel nélkül.
Szemléletesen a két pontot jelöljük S és G betűkkel, ahol a gátló gátolná a serkentőt, a serkentő pedig serkentené a gátlót.
Euklidészi önkényes koordinátázásban ez azt jelenti, hogy az űrhajó orra egy kicsit el fog fordulni. Nem fog beállni a mozgás irányába. Az elfordulás mértéke persze az űrhajó hosszától is függ. (Egy pontszerű űrhajó viszont nem tud forogni.)

[Sanyi_Laci]

Szóba került, hogy a világban nem nagyon vannak Schw lyukak, inkább csak Kerrek.
Na de mennyire forog egy Kerr-lyuk?

Van a Kerrben egy a paraméter, a=J/Mc. Ez egy távolság dimenziójú paraméter. Amikor ez 0, akkor vagyunk a Schwarzschildben. Minél nagyobb az a, annál jobban különbözünk a Schw-től.
Ahhoz, hogy jelentős legyen a különbség, az a-nak elég nagynak kell lennie, nagyságrendileg a b (Schw sugár) tartományába kell esnie.

Na de hát ez hatalmas impulzusmomentumot kell jelentsen, nem? Milyen nagynak kell lennie ennek a J-nek, hogy J/Mc a Schw sugár nagyságrendjébe essen?

Mondjuk a Napból fekete lyuk lenne a végén, 3 km-es, akkor mennyire kellene pörögnie ahhoz, hogy jelentős legyen az a paraméter hatása a metrikában?
Általában, ha egy csillag fekete lyukká omlik össze, akkor milyen lehet az a paraméter nagyságrendje? Pöröghet egyáltalán annyira, hogy a összemérhető legyen b-vel?

[G.Á]

A Nap impulzusmomentumára elfogadható az [math]1.92 \times 10^{41} kg ~m^2 s^{-1} körüli érték.
https://arxiv.org/abs/1112.4168
A Nap tömege pedig kb [math]1.9891 × 10^{30} kg

Ha mind a tömeg, mind az impulzusmomentum megmaradna feketelyukká alakulás közben (ez az ami természetesen nem teljesül), akkor az általad felírt
[math]a=J/Mc \approx 10^{11} m^2 s^{-1} /c \approx 0.3 10^{3} m = 300m volna.

Ez egy nagyságrenddel kisebb mint a Sch-sugár, de bizonyos jelenségeknél már gondolom jelentős szerephez juthat a forgás.

[Sanyi_Laci]

Hmmm..

Nem is olyan kicsi az impulzusmomentum. Jó nagy a sugár...
Ha összemenne 10b sugarúra, azaz 30 kilométeresre, és tartaná a perdületet, akkor 1 sec alatt éppen 42 fordulatot tenne meg. Ez 8000 km/sec kerületi sebesség, még mindig messze van a fénysebességtől, még nem is relativisztikus...

Ezek szerint a=J/Mc nem is olyan kicsi reális esetekben. Mondjuk kérdéses, hogy mennyi impulzusmomentumot veszítene az összeomlás során.
Köszi

[Zsolt68]

Ezek szerint a=J/Mc nem is olyan kicsi reális esetekben.

Reggel volt egy ötletem a maximális perdület kiszámítására. De aztán visszavontam, mert abban nem vagyok biztos, hogy egy gyűrűre felkenődött képződmény összetartaná önmagát. Ez ugyebár határeset, mert Gauss szerint egy gömb belsejében lévő anyag számít. A felszín pedig se nem kint, se nem bent. A fene tudja.
De ha a csillag anyagát két részre osztanám: úgy mint egy központi magra, aminek elhanyagolható a perdülete; valamint egy külső gyűrűre, amit a mag még összetart, és Kepler szerint számolható. És ennek a tömeg megoszlásnak a legnagyobb perdülethez tartozó szélsőértékét keresném.

[Sanyi_Laci]

Reggel volt egy ötletem a maximális perdület kiszámítására. De aztán visszavontam, mert abban nem vagyok biztos, hogy egy gyűrűre felkenődött képződmény összetartaná önmagát.

Egy gyűrű mindenekfölött?
Ha a fekete lyukat úgy képzeled, mint valami gyűrűre (?) gömbhéjra (?) felkenődött anyagot, akkor ezt felejtsd el, mert ezt Emil már levédette. Ő centrifugálja a fényt napszámban.

De ha a csillag anyagát két részre osztanám: úgy mint egy központi magra, aminek elhanyagolható a perdülete; valamint egy külső gyűrűre, amit a mag még összetart, és Kepler szerint számolható.

Miért lenne elhanyagolható a perdület? Bent koncentrálódik az anyag, az M-ben lineáris a tehetetlenségi nyomaték. R-ben meg négyzetes. Mindkettő erős. Ezért alig van különbség a homogén gömb és a gömbhéj tehetetlenségi nyomatékában.

Meglepően nagy a Nap impulzusmomentuma, és végülis ez volt a feladat kérdése. Lehetnek pörgős Kerrek. Simán.

[Zsolt68]

Miért lenne elhanyagolható a perdület? Bent koncentrálódik az anyag, az M-ben lineáris a tehetetlenségi nyomaték. R-ben meg négyzetes. Mindkettő erős. Ezért alig van különbség a homogén gömb és a gömbhéj tehetetlenségi nyomatékában.

Egyszerűsítő feltevés. Mivel nem ismerem egy csillagnak a tömeg-eloszlását a sugár függvényében. Első közelítésben legyen középen egy pontszerű objektum. Márpedig egy klasszikus pontnak nincs perdülete (talán még Dirichlet szerint sem).
Sajnos még nemtom hogyan kezdjek hozzá.
Az elképzelésem az, hogy a csillag tömegének egy részét a középpontba teszem, ami nem ad perdületet. A maradékot pedig felkenem egy forgó gyűrűre. Aztán a perdület maximumát kell keresni. Ehhez jó ötletnek tűnik a csillag tömegét normálni: [Renderelés ... M=1]M=1
És akkor
[Renderelés ... M_1 = \alpha \cdot M]M_1 = \alpha \cdot M
[Renderelés ... M_2 = ( 1 - \alpha ) \cdot M]M_2 = ( 1 - \alpha ) \cdot M

Itt felmerül egy olyan kérdés, hogy egy adott tömegű központi csillag mekkora tömegű bolygót tud körpályán tartani. Mert ha a bolygó elég nagy, akkor már a csillag is keringeni fog a közös tömegközéppont körül. Szerencsére egy szimmetrikus gyűrű elrendezéssel ez a probléma kiküszöbölhető. (Az más kérdés, hogy mekkora valószínűséggel és milyen módon jöhet létre egy ilyen konfiguráció. De az tulajdonképpen nem is kell, mert ez csak egy modell a perdület felső korlátjának meghatározására.)

Megtartom azt a feltevést is, hogy határesetben [Renderelés ... b = R]b = R legyen.

Tehát
[Renderelés ... \dfrac{\alpha \cdot G}{R^2} = R \cdot \omega^2]\dfrac{\alpha \cdot G}{R^2} = R \cdot \omega^2
amiből átrendezéssel kijön Kepler formulája.

[Renderelés ... \alpha \cdot G = R^3 \cdot \omega^2]\alpha \cdot G = R^3 \cdot \omega^2

A perdület pedig:
[Renderelés ... J = ( 1 - \alpha ) \cdot R^2 \cdot \omega]J = ( 1 - \alpha ) \cdot R^2 \cdot \omega

folyt.köv.
(Ugyanis itt elakadtam. Valószínűleg a következő lépés az [Renderelés ... R = b = 2MG/c^2]R = b = 2MG/c^2 lesz.)