Rigel írta:Ha! Majdnem becsaptál. (Bár te vagy a matekos, neked ez könnyű.)
A példád egy tipikus határérték eset, mint Zénón paradoxonában a teknőst soha utol nem érő nyúl esete.
Hiába állítod ugyanis, hogy matematikailag a nullába való visszatérés valószínűsége végtelen pénzfeldobás esetén pontosan 1, ha ez az esemény MINDIG(!) véges pénzfeldobás után fog megvalósulni. Nem a végtelenedik pénzfeldobásra jutsz vissza az origóba, hanem egy kicsit mindig előbb. Az pedig mindig véges darab pénzfeldobás, hiszen a végtelen pénzfeldobás során bármikor is jutnál vissza, az odáig elkövetett pénzfeldobásokat mindig meg fogod tudni számolni és az véges lesz (éppen mert bekövetkezett a visszajutás). Így viszont a kijelentésed a végtelen pénzfeldobás esetén 1 valószínűségről csalóka, hiszen emögött az húzódik meg, hogy egyre nagyobb számú pénzfeldobás esetén az origóba visszajutás esélye bár mindig kisebb, mint egy, de egyre jobban megközelíti az egységnyit. Ez a darabszám-valószínűség összefüggés ad egy végtelen sorozatot, aminek a határértéke az általad megadott (gyakorlati szempontból nonszensz) eset.
Így pedig az általad megadott pénzfeldobásos példa az általam említett "csak várható úgy sacperkábé" esetnek felel meg a gyakorlatban, ahol is a visszajutás valószínűségét bármely nagyon nagyszámú pénzfeldobás esetén annak az értéke határozza meg, hogy mennyire közelíti meg ennyi pénzfeldobás az 50-50%-os eredményt. A másik eset, az egzaktul végtelen idő alatt egzaktul 1 valószínűség, kínosabb: akkor ugyanis bármely véges időtartamra a valószínűség pontosan 0 kell legyen, így viszont ellentmondás lesz, hiszen végtelenszer nulla valószínűség nem adhatja ki az egységnyi valószínűséget. Ezért állítom azt, hogy az ilyen eset (tehát ami nem valódi valószínűségek határértéke) nem rendelkezik semmiféle valószínűséggel.
(Bocs, ha hülyeségeket írok, vitaalapnak jó lesz.)
Ne haragudj Rigel, de ez halandzsa. Nagyon nehéz kihámoznom a mondanivalódat, de amit kihámoztam, az meg téves.
1.
A példád egy tipikus határérték eset, mint Zénón paradoxonában a teknőst soha utol nem érő nyúl esete.
Nem. Attól, hogy van benne egy sor határérték? Az mindenben van, a gépelő majmoknál is van, de a kockadobásnál is van! Akkor minden, amiben megjelenik egy sor (nem sorozat, hanem sor, ami eleve végtelen) az már teknős-paradoxon? Dehogy is!
Zénón paradoxona (ami egyrészt nem is paradoxon) abban áll, hogy nem tudott a konvergenciáról. Attól, hogy végtelen sok kis mennyiséget adok össze, attól még nem biztos, hogy a szumma (a határérték) végtelen. Pl. a teknősnél nem.
Vegyük pl. a kockadobást. Azt vizsgálom, hogy mikor dobok először 6-ost.
Oké, definíció: (Diszkrét) valószínűségi változó: bizonyos értékeket vehetünk fel, bizonyos valószínűségekkel. A teljes értékkészlet valószínűsége 1.
Példa: mikor dobok először 6-ost? Ez egy diszkrét valószínűségi változó, értékkészlete 1-től a végtelenig terjed (megszámlálható végtelen). Minden számhoz tudunk valószínűséget rendelni így:
p=1/6, q=5/6
P(1.-re sikerül)=p
P(2.-ra sikerül)=qp
P(n.-re sikerül)=qn-1p. Ugyebár ez világos, ha az n.-re dobok először 6-ost, akkor előtte mindig nem 6-ost kellett dobnom, n-1-szer.
Ez az úgynevezett Pascal-eloszlás.
P(Xn)=qn-1p.
Kérdés 0: Mi a valószínűsége, hogy SOHA nem dobok 6-ost? 0. Annak a valószínűsége ugyanis, hogy n dobásból nem dobok 6-ost: qn. n pedig tart végtelenhez.
Kérdés 1: Mi a valószínűsége, hogy fogok valamikor 6-ost dobni? Hát, 1-P(soha nem dobok 6-ost)=1. Tehát 1 valószínűséggel fogunk 6-ost dobni.
Kérdés 2: Átlagosan/várhatóan MIKOR fogjuk az első 6-ost kidobni? Ez a várható érték. Ez azt jelenti, hogy számba veszem az ÖSSZES lehetőséget, és veszem ezeknek a valószínűségekkel súlyozott átlagát.
Ugyebár előfordulhat bizonyos valószínűséggel, hogy 1-re sikerül, 2-ra sikerül, 100-adikra sikerül, egymilliomodikra sikerül, stb. Mindegyiknek van egy nem nulla valószínűsége. Mindegyik egy lehetséges kimenetel. Ezeknek kell a valószínűségekkel súlyozott átlagát venni, azt nevezzük várható értéknek.
Tehát, már egy egyszerű kockadobás esetén és sort kapunk a várható értékre, egész egyszerűen azért, mert az értékkészlet végtelen számosságú.
Ha ki akarom számolni, hogy mennyi a várható érték, az értékeket (1-2-3-stb) kell a valószínűséggel súlyozva átlagolni, azaz (mivel a valószínűségek összege 1) az értékeket a hozzájuk tartozó valószínűségekkel összeszorozni, és szummázni. Azaz ezt kell kiszámolni:
[Renderelés ... \sum_{1}^{\infty}nq^{n-1}p=p[1+2q+3q^2+4q^3+5q^4+.....]]
Ezt a végtelen sor összeget kell meghatározni ahhoz, hogy arra a kérdésre választ kapjunk, hogy várhatóan mikor dobjuk az első 6-ost. (Érdemes egyébként elgondolkodni a szumma kiszámolásának módján, kicsit trükkös.
)Ez egy végtelen sor határértéke. Zénón paradoxonának a hibájába akkor esnénk, ha azt mondanánk, hogy EZ végtelen. De nem mondunk ilyet, mert ez nem végtelen. Ez ugyanis 1/p=6.
Átlagosan/várhatóan a 6. dobásra fogunk 6-ost dobni. De nincs kizárva, hogy az egymilliomodikra. De az sincs kizárva, hogy a tízmilliomodikra SEM. Ezért a várható érték (súlyozott átlag) meghatározásához minden lehetőséget figyelembe kell venni, azaz a végtelenig kell szummázni.
2. Most akkor az átlagos és a várható viszonyáról:
A várható érték az egy definíció: a kimenetelek valószínűségekkel súlyozott átlaga. Ezen nincs mit nyakatekerni, ez per definíció így van.
De mi az, hogy "átlagos"? Átlagos meg az, hogy sokszor kísérletezünk, sokat dobunk, mindig annyiszor amíg ki nem jön az első 6-os. Az sok kísérlet eredményét, azaz a szükséges dobások számát pedig átlagoljuk. Ez lesz a tapasztalati átlag. Amit tapasztalunk.
Van egy tétel (a nagy számok gyenge tétele), hogy SOK kísérlet esetén a tapasztalati átlagnak a várható értéktől való eltérése kicsi lesz. Egészen pontosan: annak a valószínűsége, hogy epszilonnál jobban eltér az átlag a várható értéktől, KICSI. A szórástól és a kísérletek számától függően kicsi.
Ha sokszor elvégzed a kockás kísérletet, akkor elég nagy valószínűséggel azt fogod találni, hogy átlagosan 6 dobás kell az első 6-oshoz.
A Hamletet gépelő majmok pontosan ugyanez a valószínűségi eloszlás, csak más a p és q értéke. De ott is van VÉGES határérték, VÉGES várható érték.
Ok. Végezd el SOKSZOR a kísérletet a pénzfeldobásos bolyongásra. Csináld ugyanezt. Vedd a lehetséges értékeket ami az első visszatérést jelenti, és vedd ezek valószínűségekkel súlyozott átlagát. Ez már végtelen sor-összeg lesz. Ugyanolyan sor összeg mint az előbb, de már tényleg végtelen határértékű. Semmiféle Zénón meg a teknős! Egy végtelen sor összege tényleg végtelen. Zénónnál a paradoxon az volt, hogy azt HITTE Zénón, hogy végtelen a sor összeg, amikor meg nem is. De itt meg JÓL HISZI Zénón, mert tényleg végtelen. Nincs ebben semmi ellentmondás.
Másképp mondom: végezd el a kísérletet "SOKSZOR", és vedd ezek tapasztalati átlagát. Nem fogod tudni túl sokszor elvégezni a kísérletet, ugyanis az átlag a végtelen lesz.
Rigel írta:Nem a végtelenedik pénzfeldobásra jutsz vissza az origóba, hanem egy kicsit mindig előbb.
Bármilyen N számra nem nulla annak a valószínűsége, hogy NEM jut addig vissza. Csakúgy a kockánál is: bármilyen N számra nem nulla annak a valószínűsége, hogy addig nem sikerült 6-ost dobni.
Így viszont a kijelentésed a végtelen pénzfeldobás esetén 1 valószínűségről csalóka, hiszen emögött az húzódik meg, hogy egyre nagyobb számú pénzfeldobás esetén az origóba visszajutás esélye bár mindig kisebb, mint egy, de egyre jobban megközelíti az egységnyit.
Csakúgy, mint a kockánál. De mi köze ennek a várható értékhez? Semmi. Az lehet véges (kocka/gépelő majmok) és végtelen is.
Ez a darabszám-valószínűség összefüggés ad egy végtelen sorozatot, aminek a határértéke az általad megadott (gyakorlati szempontból nonszensz) eset.
Egyáltalán nem nonszensz eset. Miért meddig kellene szummáznom? 100ig, 100-ig, millióig? Igenis a végtelenig kell szummáznom, per definíció. Amúgy a kockánál is. Ha nem végtelenig szummázok, akkor nem jönne ki a 6, mint várható érték.
gy pedig az általad megadott pénzfeldobásos példa az általam említett "csak várható úgy sacperkábé" esetnek felel meg a gyakorlatban
Dehogy "saccperkábé"! Mit jelent az, hogy "saccperkábé"? A kockánál is, az első 6-os dobás esetén is végtelenig mentünk, addig is kell!
A másik eset, az egzaktul végtelen idő alatt egzaktul 1 valószínűség, kínosabb: akkor ugyanis bármely véges időtartamra a valószínűség pontosan 0 kell legyen,
Na ne már! Természetesen végtelen idő alatt (dobásszám/lépésszám alatt) lesz 1 a valószínűség, de ez nem jelenti azt, hogy bármely végesre pontosan 0! Dehogyis! A kockánál is bármely N-re qN az esélye annak, hogy N dobásból NEM SIKERÜLT 6-ost dobni. Azaz 1-qN az esélye annak, hogy sikerül N dobásból 6-ost dobni. Bármely véges N-re! Ez nem pontosan 0, épp ellenkezőleg, nagyon is közel van az 1-hez! Csak éppen nem pontosan 1.
Ezért állítom azt, hogy az ilyen eset (tehát ami nem valódi valószínűségek határértéke) nem rendelkezik semmiféle valószínűséggel.
Mi? Az, hogy mikor dobom az első 6-ost, mikor érek vissza? Ez nem rendelkezik valószínűséggel?! De. Minden N-re rendelkezik mindkettő egy nem-nulla valószínűséggel. Nem nulla annak a valószínűsége, hogy N alatt NEM SIKERÜLT 6-ost dobni/visszatérni, és rendelkezik a fordítottjával is, méghozzá 1-hez közeli valószínűséggel, hogy SIKERÜLT 6-ost dobni/visszatérni. Ezek mind-mind "valódi" valószínűségek, Minden N-re, de még N---> végtelenre is. Teljesen értelmes kérdések (visszaér-e valaha/ dobok-e 6-ost valaha) teljesen értelmes válaszokkal: igen, 1 valószínűséggel.
A várható érték az egyiknél 6, a másiknál meg végtelen. Ennyi. Mindkét esetben csak majdnem biztosan sikerül véges idő alatt 6-ost dobni/visszatérni, de csak majdnem. Minden N-re mndkét esetben van esély, hogy nem sikerül. De amíg a kockadobásnál a várható érték 6 lesz, a másiknál végtelen. Nem "saccperkábé végtelen", hanem végtelen.
