Mi a látszólagos ellentmondás feloldása?

[dgy]

Mozogjon egy részecske az x tengelyen, az utóbbi 2 operátor kielégíti a Heisenberg-féle relációt:
[Renderelés ... [p,q]=\frac{ℏ}{i}I][p,q]=\frac{ℏ}{i}I, ahol I az egységmátrix.
Ha kiszámítjuk az előző egyenlet nyomát, akkor azt találjuk, hogy [Renderelés ... Tr[p,q]=0]Tr[p,q]=0, azonban [Renderelés ... Tr(\frac{ℏ}{i}I)≠0]Tr(\frac{ℏ}{i}I)≠0
Hogyan lehetséges ez?

Ez a "látszólagos ellentmondás" régi és standard beugrató vizsgakérdés az elemi kvantummechanika kurzusokon.

A megoldás látszólag egyszerű, pedig dehogy...

Az triviális, hogy a mátrixok nyomának (spur, trace) ciklikus átrendezésére vonatkozó tétel (azaz [Renderelés ... Tr(ABC...MN)=Tr(NABC...M)]Tr(ABC...MN)=Tr(NABC...M) alapján [Renderelés ... Tr(AB)=Tr(BA)]Tr(AB)=Tr(BA), ezért a kommutátor nyoma nulla - feltéve, ha ez a nyom létezik, azaz a kiszámítására szolgáló összegezés konvergens. Véges dimenziós esetben ez mindig fennáll, a kérdés csak végtelen dimenzióban merül fel. Mivel egy operátor nyoma reprezentációváltásra nézve invariáns, ezért az állítás nemcsak az operátort reprezentáló mátrixra, hanem magára az operátorra is vonatkozik. Az egységoperátor nyoma viszont nem nulla.

Az első következtetés természetesen az, hogy az ellentmondás következtében ilyen, a Heisenberg-féle csererelációt kielégítő [Renderelés ... p]p és [Renderelés ... q]q operátorok nem léteznek.

A második, kissé óvatosabb következtetés (ami önmagában igaz, csak nem a teljes válasz) pedig az, hogy a csererelációt véges dimenziós téren ható operátorokkal (és az őket reprezentáló mátrixokkal) nem lehet kielégíteni - ezért a kvantumelméletben végtelen dimenziós téren kell dolgoznunk.

[Az utóbbi állítás önmagában is problematikus. Miért is kellene végtelen dimenzióban dolgoznunk? Hogy kielégítsük a csererelációt, és találjunk a klasszikus mechanikai [Renderelés ... p]p és [Renderelés ... q]q mennyiségeknek megfelelő operátorokat. Ez lenne egy klasszikusan definiált fizikai rendszer "kanonikus kvantálása", a klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusából kiindulva. Csakhogy a modern kvantumelmélet és számos alkalmazása (pl a nanorendszerek fizikájában) egyre több olyan fizikai rendszerrel és fizikai fogalommal foglalkozik, amelyeknek egyáltalán nincs klasszikus megfelelőjük. Ezért nincs klasszikus Hamilton-féle leírás, nincs szükség kanonikus kvantálásra, tehát a Heisenberg-féle cserereláció egyszerűen nem lép fel. Így a rendszert leíró kvantumelméletet meg lehet fogalmazni véges dimenziós Hilbert-téren (korábbi nevén komplex euklideszi téren) is. Ilyen esetben a felvetett paradoxon nem is merül fel.]

De vizsgáljuk tovább azt az esetet, amikor klasszikusan létező rendszer kanonikus kvantálása a feladat. Azt szokták mondani, hogy végtelen dimenziós téren ható oprerátorokkal (és mátrixukkal) a probléma megkerülhető, mert mind a [Renderelés ... pq]pq, mind a [Renderelés ... qp]qp operátor nyoma végtelen, és ezek különbsége nyugodtan megegyezhet az egységoperátor szintén végtelen nyomával. Csakhogy ez blabla, játék a szavakkal, a valóban létező probléma elkenése!

Tényleg tudunk olyan végtelenszer végtelenes mátrixokat találni, amelyek (látszólag) teljesítik a feltételt. Legyen [Renderelés ... A]A az a végtelen mátrix, amelynek csak a főátló melletti ferde sávjában vannak nem nulla elemek: az [Renderelés ... n]n-ik sor [Renderelés ... (n+1)](n+1)-ik oszlopában [Renderelés ... \sqrt{n}]\sqrt{n} áll, minden más elem pedig nulla. A [Renderelés ... B]B mátrix pedig legyen [Renderelés ... A]A transzponáltja. Ekkor az [Renderelés ... AB]AB és a [Renderelés ... BA]BA szorzatmátrix is diagonális lesz, az előbbi főátlójában az [Renderelés ... (1, 2, 3, ...)](1, 2, 3, ...) számok állnak, az utóbbiéban pedig a [Renderelés ... (0, 1, 2, 3, ...)](0, 1, 2, 3, ...) számok. A kettő különbsége épp a végtelenszer végtelenes egységmátrix. Az [Renderelés ... A]A és [Renderelés ... B]B mátrixok azonban nem hermitikusak, ezt pedig fizikai mennyiségek mátrixaitól elvárjuk. Ezen könnyű segíteni: legyen [Renderelés ... Q=(A+B)/\sqrt{2}]Q=(A+B)/\sqrt{2} és [Renderelés ... P=\frac{ℏ}{i}(A-B)/\sqrt{2}]P=\frac{ℏ}{i}(A-B)/\sqrt{2}. Ekkor könnyű belátni, hogy az így értelmezett [Renderelés ... P]P és [Renderelés ... Q]Q mátrixok kielégítik a Heisenberg-féle csererelációt, és hermitikusak is. Látszólag tehát megoldottuk a problémát.

Igen ám, de az így bevezetett [Renderelés ... P]P és [Renderelés ... Q]Q mátrixok nem definiálnak az egész Hilbert-téren ható, mindenütt értelmezett operátorokat! Azaz nincs olyan bázis a vizsgált kvantumrendszer Hilbert-terében, amelyen egy mindenütt értelmezett [Renderelés ... p]p, illetve [Renderelés ... q]q operátort épp a fenti végtelen [Renderelés ... P]P, illetve [Renderelés ... Q]Q mátrix reprezentálná!

Ez legegyszerűbben a Hilbert-tér függvényreprezentációjában látható be. Itt a Hilbert-tér elemei (Lebesgue szerint) négyzetesen integrálható függvények, azaz olyan [Renderelés ... f(x)]f(x) komplex értékű függvények, amelyekre az [Renderelés ... |f(x)|^2]|f(x)|^2 valós, nemnegatív függvény integrálja véges. A [Renderelés ... q]q helyoperátort ilyenkor szokás szerint az [Renderelés ... x]x-szel való szorzás, a [Renderelés ... p]p impulzusoperátort pedig az [Renderelés ... x]x szerinti differenciálás operátorának [Renderelés ... ℏ/i]ℏ/i-szerese képviseli. Ám igen könnyen találhatunk olyan négyzetesen integrálható [Renderelés ... f(x)]f(x) függvényeket, amelyek esetében vagy az [Renderelés ... xf(x)]xf(x) függvény, vagy az [Renderelés ... f'(x)]f'(x) deriváltfüggvény nem lesz négyzetesen integrálható (esetleg egyikük sem). A [Renderelés ... p]p és [Renderelés ... q]q operátorok szokásos reprezentációja tehát kivezet a négyzetesen integrálható függvények Hilbert-teréből, mert a tér bizonyos elemeit a téren kívüli függvényekbe képezi le - azaz ezek az operátorok nincsenek értelmezve a teljes Hilbert-téren!

Ugyanerre utal az is, ha megvizsgáljuk a függvénytéren ható fenti operátorok sajátfüggvényeit. A [Renderelés ... p]p-t reprezentáló differenciáloperátor sajátdüggvénye az [Renderelés ... exp(ikx)]exp(ikx) síkhullám, az [Renderelés ... x]x-szer szorzás operátorának sajátfüggvénye pedig a [Renderelés ... \delta(x-a)]\delta(x-a) Dirac-féle delta-függvény. Egyikük sem tartozik a Hilbert-térbe, a négyzetesen integrálható függvények közé, a Dirac-delta még csak nem is függvény...

A függvénytér "csökkentése", redukálása azon függvényekre, amelyeken a szereplő operátorok tisztességesen viselkednek, nem megoldás: ez a függvényhalmaz nem lesz teljes, tehát nem tud minden kvantumállapotot reprezentálni.

A problémát a kvantummechanika megszületése óta sokan vizsgálták, mind matematikai, mind fizikai szempontból. "Megnyugtató", minden feltételt és minden igényt kielégítő megoldás nem született. Bele kell nyugodnunk, hogy első megérzésünk volt a helyes: a felvetett ellentmondás nem volt látszólagos, a Heisenberg-féle csererelációt kielégítő [Renderelés ... p]p és [Renderelés ... q]q operátorok egyszerűen nem léteznek.

Ez persze senkit sem akadályoz meg abban, hogy a gyakorlati kvantumos számítások során vidáman alkalmazzák mind a fenti [Renderelés ... P]P és [Renderelés ... Q]Q mátrixokat, mind a függvénytéren ható szokásos operátorokat. Csak tudni kell közben, hogy vékony jégen járunk.

A probléma matematikailag precíz tárgyalása megtalálható Neumann János klasszikus könyvében (A kvantummechanika matematikai alapjai, Akadémiai Kiadó, 1980), és más szemszögű tárgyalással Fényes Imre Modern fizikai kisenciklopédia című alapos összefoglalójában (Gondolat Kiadó, 1971).

dgy

[szabiku]

Kisfiam, Dgy ezt vagy 42 éven át tanította egyetemen, ráadásul a reguláris tananyagon túlmenő speciális kurzusokon is.

Ezzel azt akarod mondani, hogy akkor itt DGY-nek csak igaza lehet??
És aki jó okból ellentétes véleményen van valamiben, leírja korrektül alátámasztva, és nem lenézően, azt TI lebunkózhatjátok.
És ha reagál rá, akkor persze Ő (jelen esetben én) a modortalan, mert kirakott mellé pár szmájlit.

Pár perc guglizás után még te sem vagy azon a szinten, hogy ehhez érdemben hozzászólj. Csak arra elég pár perc guglizás, hogy saját eredményedként tüntesd föl a wiki elnagyolt, slendrián és téves magyarázatait.

Tehát én csak érdemtelen lehetek, és téves magyarázatokat adhatok, még ha elismert könyvekből is veszem, vagy ha igazam is van tán.

Azon a szinten pedig soha nem leszel, hogy ezt a stílust itt bármely tudóssal szemben -legyen élő vagy holt- megengedhesd magadnak.

Én nem jóérzésből vagyok néha olyan amilyen, hanem mert folyton bántotok (nem gyengén!), pedig értelmesen, alátámaszva, és ész érvekkel járulok hozzá én is az itteni témákhoz. Ezt nem kellene lenézni. Tessék itt a mostani példa:

[Renderelés ... [p,q]=\frac{\hbar}{i}I_H][p,q]=\frac{\hbar}{i}I_H, ahol [Renderelés ... I_H]I_H az egységmátrix.

Az operátoregyenleted bal oldala egyenlő a jobb oldallal, tehát ugyan az.
Akkor a bal oldal nyoma is egyenlő kell legyen a jobb oldal nyomával, nem??

Ha kiszámítjuk az előző egyenlet nyomát, akkor azt találjuk, hogy [Renderelés ... Tr[p,q]=0]Tr[p,q]=0, azonban [Renderelés ... Tr(\frac{\hbar}{i}I_H)\neq 0]Tr(\frac{\hbar}{i}I_H)\neq 0
Hogyan lehetséges ez?

Nálad miért nulla a bal oldal nyoma??

Nincs benne az égegyadta világon semmi modortalan.
DGY mégis lenézően célozva rám válaszolt. nem idézem..
Megsértődtem. De lássátok , hogy nem vagyok rosszindulatú, kiveszem a szmájlikat a kifogásolt válaszomból, és pár szót, ezzel redbeteszem.
Viszont gondolom én nem kérhetem azt, hogy kedvesebbek és rendesebbek legyetek velem az útálkozás helyett..

[KovPityu]

Elnézést, hogy ismét beleokvetetlenkedek.

A tanár úr írta:

Igen ám, de az így bevezetett P és Q mátrixok nem definiálnak az egész Hilbert-téren ható, mindenütt értelmezett operátorokat! Azaz nincs olyan bázis a vizsgált kvantumrendszer Hilbert-terében, amelyen egy mindenütt értelmezett p, illetve q operátort épp a fenti végtelen P, illetve Q mátrix reprezentálná!

Ezt úgy kell értenem, hogy a feladat bal oldala a kvantummechanikában értelmetlen?

[dgy]

De ettől függetlenül szeretném megkérdezni: az nem lehet, hogy a dimenziószám a bibi? Ez itt egy 1 térdimenziós eset. "Mozogjon a részecske az x tengelyen." De miért lenne a részecske az x tengelyre korlátozva? Ezek a mély matematikai problémák ugyanígy fennállnak több térdimenziós esetben is?

A probléma több dimenzióban változatlanul fennáll. A Heisenberg-féle csererelációk szerint a különböző indexű p_k és q_l mennyiségek kommutálnak, emellett minden p minden p-vel, minden q minden q-val kommutál. A p_k operátor csak a vele azonos indexű q_k-val nem kommutál, az ő kommutátoruk pedig konstansszor az egységoperátor. Tehát pont ott vagyunk, ahol az egyváltozós esetben, csak épp n-szer megismételve a problémát.

Még nagyobb a gond a kvantummező-elméletben - ott az itteni diszkrét k index helyébe egy folytonos c paraméter lép, emiatt a kommutátor képletében Kronecker-delta helyett Dirac-delta lép fel - ami köztudomásúan nem is létezik... Pontosabban nem függvény, hanem disztribúció (általánosított függvény). Tehát ki kellene fejleszteni a disztribúció-értékű operátorok elméletét (ennek megfelelően meg kellene változtatni a Hilbert-tér definícióját, amin az operátorok hatnak). Igen ám, de bár a disztribúciókra sokféle műveletet lehet értelmezni vagy kiterjeszteni, épp a szorzás nincs közöttük. Tehát a [Renderelés ... pq]pq operátorszorzatnak semmiképp sem lehet értelmet adni, ezért persze a kommutátornak sem. Így ha matematikailag egy cseppet is igényesek vagyunk, a kvantummező-elméletben meg sem kíséreljük felírni a Heisenberg-féle csererelációk megfelelőit.

Persze nem vagyunk ilyen igényesek. Én pl az előző három héten épp ezt, a mezők kanonikus kvantálását tanítottam a harmadéveseknek. Azzal a kiegészítéssel, hogy nem titkoltam el előlük az itt említett matematikai aggályokat, és nem tettem úgy, mintha minden rendben lenne. Miközben tudjuk, hogy semmi sincs rendben.

A huszadik század hét csodájának egyike, hogy a fenti (és még számos más) súlyos probléma ellenére a kvantummező-elmélet (QFT) mégis működik, már 1950-ben tíz tizedes pontossággal tudta sikeresen előre jelezni bizonyos kísérletek eredményét (hosszú ideig ez volt a fizika legpontosabban mért és számított adata, mára pedig a számolás és a mérés elérte a 22 tizedes pontosságot, és még mindig egyeznek), az akkori QED ravaszul továbbfejlesztett (de matematikailag még kevésbé megalapozott) utódelméletei pedig számos elemi részecske létezését és sok tulajdonságát jósolták meg, kvalitatíve és egyre több esetben kvantitatíve is helyes módon. Nem értjük, hogy miért.

Az az általános vélemény, hogy valami olyan helyzetben vagyunk, mint száz éve az atom Bohr-modellje esetében. Van/volt egy fizikailag és matematikailag bizonyosan helytelen, rosszul összegányolt elméletünk, amely azonban a kísérletekkel megegyező eredményeket ad. Aztán kilencven éve megszületett a kvantummechanika, amely gyökeresen más fizikai és matematikai alapokon minden korábban kiszámolt esetben reprodukálta a Bohr-modell eredményeit, és mentes volt annak elméleti hiányosságaitól. Ezután el lehetett felejteni a Bohr-modellt (valójában csak az iskolai fizika- és kémia-oktatásban meg az elemi szintű ismeretterjesztésben maradt fenn, eléggé sajnálatos módon), minden későbbi elméleti továbblépésnek már az új kvantumelméletből kellett kiindulnia.

Most is ezt várjuk: a Bohr-modell szerepét a QFT játssza. Talán valahol már munkálkodik az a zseniális matematikus vagy fizikus, aki egy konzisztens és ellentmondásmentes, matematikailag korrekt modellel megalapozza, egyben el is törli a QFT mai modellét, fogalmait, számítási eljárásait. Abban az elméletben nem lesz gond az operátorok kommutálásával, a Dirac-deltával, a renormálással stb. Viszont ez az elmélet minden eddigi, kísérletileg helyesnek bizonyult eredményt a mai QFT-vel azonos formában és értékkel szolgáltat. És persze számos olyan eredményt is produkál, amit a mai elmélet alapján nem tudunk kiszámolni (akár elvi, akár számolástechnikai okból). Álom, szép álom...

Van viszont egy nagy, tudományszociológiai jellegű különbség a két helyzet között. A Bohr-modell "uralma" csak tíz évig (1913-23) között állt fenn. Azok, akik ennek az elméletnek a keretében, ennek az elméletnek a fogalmaival és eljárásaival dolgoztak, és akik ott voltak az elmélet születésénél, személyesen megérték a következő, a Bohr-modellt elsöprő kvantumelmélet születését, és a legtöbben maguk is ott bábáskodtak körülötte, részt vettek kifejlesztésében. Saját fejükben ment végbe ez a "második rendszerváltás". 1927-re már nem volt olyan élvonalbeli fizikus, aki még a Bohr-modell keretei között számolt volna, vagy visszasírta volna a régi elméletet.

Ma más a helyzet. A QFT első kidolgozott változata, a kvantumelektrodinamika (QED) 1949-51 között született, a Nobel-díjakat 1965 körül adták ki érte. Azóta minden újabb elméleti részecskefizikai eredmény, továbbfejlesztés, részecskék megjóslása, a Standard Modell részleteinek kimunkálása a QFT eredeti programjával, fogalmaival, matematikájával, módszereivel történt. Legalább három, de lehet, hogy öt kvantumelmész és részecskefizikus generáció nőtt fel, akik anyanyelvükként tanulták meg a QFT fogalmait és számítási szabályait. És legtöbbjüket (főleg a pragmatikus, a számolási módszerekre és a minél előbbi eredményre hajtó amerikai oktatási rendszerben) nem figyelmeztették azokra a matematikai nehézségekre, amelyekről itt szó volt. Megtanulták azokat (a náluk matematikailag képzettebb elődeik által kifejlesztett) számolási trükköket, amikkel a végtelenek fellépését és egyéb bajokat el lehet kerülni, és a lehető leggyorsabban el lehet jutni a helyes eredményhez. E gyakorlatban működő (és általában sikeresen működő) fizikusok jelentős része egyszerűen nincs tisztában azzal, hogy itt egyáltalán valami baj, hiányosság, matematikai probléma rejlik. Ez a helyzet sajnos öngerjesztő. Mivel nem köztudomású, hogy baj van, kevés megfelelően képzett matematikus kezd foglalkozni a helyzet tisztázásával (az is lehet, hogy egy sem). Ha pedig születik valamilyen részeredmény, a terület vezető fizikusai nem veszik észre, vagy nem értékelik kellőképpen - hiszen ők nem tudnak arról, hogy valamit javítani kellene.

Én mindenesetre ötven éve várok arra a zseniális matematikusra, aki a területet rendbe rakja - eddig hiába.

Kiút a csapdából?

1/ A zseniális matematikus mégis megszületik, megoldja a problémát, és az akkora durranás lesz, hogy előbb-utóbb mindenki kénytelen lesz tudomásul venni. (Példa: Newton és a mozgás leírására szolgáló differenciálszámítás.)

2/ Az eddigi elmélet akkora bajba kerül, akkora fogalmi vagy matematikai csapdába lavírozza magát, hogy "a normál kutatási ügymenet" (Kuhn) képviselői is kénytelenek tudomásul venni a baj bekövetkeztét. Ekkor valószínűleg több okos fiatal koncentrálódik a témára, és valaki (vagy okos valakik csoportja) megoldja a problémát, kidolgozza az új matekot. Az első sikerek, a krízis kirobbantó konkrét probléma frappáns megoldása pedig a korábbi eljárást rutinszerűen használó híveket is ráveszi, hogy megtanulják, és a továbbiakban ők is használják az új fogalmakat, új számolási eljárásokat. (Példa: a húszas évek második fele, a kvantumelmélet kezdeti sikerei utáni krízis az atomspektrumok értelmezésében, a csoportelméleti módszerek bevezetése Wigner és Neumann által, majd általános elfogadásuk.)

Mivel a részecskefizika Standard Modellje nagyon jól működik, úgy tűnik, ilyen krízis most nincs a láthatáron, ezért erre az új forradalomra még valószínűleg évtizedeket kell várnunk.

Kár. Pedig nagyon kíváncsi lettem volna rá.


Ui: egy reménysugár: lehet, hogy a kvantumelmélet és az áltrel összeillesztésére irányuló próbálkozások hozzák el a fent emlegetett termékeny válságot. Sőt az is lehet, hogy már el is hozták! A kvantummező-elméletben szereplő vákuumfluktuációk az áltrelben, azon belül a kozmológiában pont úgy viselkednek, mint a sokat emlegetett kozmológiai állandó. Csak épp a QFT alapján számított érték 120 nagyságrenddel nagyobb, mint a kozmológiai állandó kísérletileg meghatározott értéke. Ez az egész fizika történetének legnagyobb elméleti baklövése, hibás értékű jóslata! Kell ennél nagyobb botrány, felszólítás az alapok átépítésére?

Sajnos úgy tűnik, a baj mégsem elég nagy... Ez a diszkrepancia legalább húsz éve fennáll, és mégsem látszik a lázas sürgölődés, az új alapok keresése. Lehet, hogy a QFT-n felnőtt négy-öt fizikus generáció annyira hozzászokott az elmélethez, eddigi sikereihez, megújulási képességéhez, hogy most is abban bízik: majd valami ügyes ember az alapok felforgatása nélkül, az elmélet belső eszközeivel ezt a nehézséget is kimagyarázza. Azrán minden mehet tovább, business as usual...

Én meg várhatok tovább a forradalomra...


dgy

[dgy]

Ezt úgy kell értenem, hogy a feladat bal oldala a kvantummechanikában értelmetlen?

Nem értelmetlen. Bármely két operátorra meg lehet kérdezni, hogy mi a kommutátoruk (feltéve, hogy a szorzatok és azok különbsége értelmezve van).

A kérdésre viszont az a válasz, hogy nem létezik olyan p és q operátor, amelyek az összefüggést kielégítenék, azaz az egész Hilbert-tér bármely vektorára alkalmazva a kommutátorukat, az úgy viselkedne mint az egységoperátor számszorosa. A Hilbert-tér bizonyos részhalmazán ez lehetséges - de ez viszont a kvantummechanika többi axiómája miatt nem fogadható el, nem elegendő.

Az itt tárgyalt matematikai problémát viszont már régen megoldották! Mint már jeleztem, a matematikailag precíz tárgyalás benne van Neumann János 1932-ben íródott könyvében, A kvantummechanika matematikai alapjai-ban. Ez a tárgyalás precízebb, bonyolultabb, ezért a gyakorlati számolásra kevésbé alkalmas, mint a szokásos, a mindennapi számolásban alkalmazott operátoros módszerek. Így a gyakorlati fizikus (jobb esetben tudva róla, hogy a akarna, Neumann módszerével is számolhatna, rosszabb esetben nem is tudva az egész kérdéskör létezéséről) továbbra is Schrödinger, Heisenberg vagy Dirac módszerével, jelöléseivel, fogalmaival operál.

Azonban már maga Neumann is hangsúlyozta könyvében, hogy az általa bemutatott precízebb módszer nem alkalmazható végtelen szabadságfokú rendszerek, azaz mezők esetében. Ezért javasolta, hogy aki ráér, fejlessze tovább az ő módszerét kvantummezők leírására. Ez azóta sem történt meg (lásd az előző cikkemet).

Ma tehát az a helyzet, hogy bár a szokásos, pongyola, p és q operátorokat használó módszer nem korrekt, a kvantummechanika eredményeiben biztosak lehetünk (mert tudjuk, hogy Neumann precízebb módszerével ugyanaz jönne ki). A kvantummező-elméletben viszont minden, a kísérlettel megegyező eredménynek marhára örülhetünk, mert ugyanolyan erővel értelmetlen eredmény is kijöhetett volna. Máig nem tudjuk, mi a helyes "háttérelmélet", és hogy hol van a gyakorlatban használt "hályogkovács"-módszerek alkalmazhatóságának határa.

dgy

[KovPityu]

Nem értelmetlen. Bármely két operátorra meg lehet kérdezni, hogy mi a kommutátoruk (feltéve, hogy a szorzatok és azok különbsége értelmezve van).

Köszönöm. Közben rájöttem, hogy hülye volt kérdés, de hiába, egy tanárnak nagy gyakorlata van a dekódolásban.

[Yorg]

Az nem elég az ellentmondás feloldásához, hogy végtelen dimenziós Hilbert-térben az egységoperátor nyoma nem értelmezett?

[dgy]

Az nem elég az ellentmondás feloldásához, hogy végtelen dimenziós Hilbert-térben az egységoperátor nyoma nem értelmezett?

Azért nem elég, mert a [Renderelés ... pq]pq és a [Renderelés ... qp]qp operátor nyoma sincs értelmezve, és épp erre szoktak hivatkozni "végtelen minusz végtelen egyenlő végtelen" formában. Explicit módon ki kell mondani, hogy a csererelációnak nincs értelme, mert nincsenek olyan (mindenütt értelmezett) operátorok, amik kielégítik.

Tehát nem a "cáfoló" bizonyítás a hibás (ez emlegeti az operátorok nyomait), hanem a megkövetelt reláció.

dgy

[G.Á]

Azonban már maga Neumann is hangsúlyozta könyvében, hogy az általa bemutatott precízebb módszer nem alkalmazható végtelen szabadságfokú rendszerek, azaz mezők esetében. Ezért javasolta, hogy aki ráér, fejlessze tovább az ő módszerét kvantummezők leírására. Ez azóta sem történt meg (lásd az előző cikkemet).
dgy

Szeretném megkérdezni, hogy Neumann módszere csak kontinuum-sok szabadsági fokú rendszer esetére nem alkalmazható, vagy megszámlálhatóan végtelen esetre se?

[G.Á]

Nem akartam külön topikot nyitni, viszont teljesen ebbe a témába illik:

Tekintsük az [math]A=PQ^3 + Q^3P operátort. Tudjuk róla (leellenőrizhető), hogy hermitikus.

Elég általános tétel biztosítja, hogy az ilyen operátorok sajátértéke valós.

Tekintsük az alábbi, végtelenszer differenciálható, egységnyi normájú, egydimenziós állapotot koordináta-reprezentációban:
[math]f(x)=0 ~~~~~~;~~ x=0
\\
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} |x|^{-3/2} \exp(-\dfrac{1}{4x^2}) ~~;~~x\neq0

Erre az állapotra teljesül, hogy Af=-ihf, vagyis az A operátornak nemvalós sajátértékhez tartozó sajátállapota.
Kérdés, hogy hol van a hiba?