Mozogjon egy részecske az x tengelyen, az utóbbi 2 operátor kielégíti a Heisenberg-féle relációt:
[Renderelés ... [p,q]=\frac{ℏ}{i}I], ahol I az egységmátrix.
Ha kiszámítjuk az előző egyenlet nyomát, akkor azt találjuk, hogy [Renderelés ... Tr[p,q]=0], azonban [Renderelés ... Tr(\frac{ℏ}{i}I)≠0]
Hogyan lehetséges ez?
Ez a "látszólagos ellentmondás" régi és standard beugrató vizsgakérdés az elemi kvantummechanika kurzusokon.
A megoldás látszólag egyszerű, pedig dehogy...
Az triviális, hogy a mátrixok nyomának (spur, trace) ciklikus átrendezésére vonatkozó tétel (azaz [Renderelés ... Tr(ABC...MN)=Tr(NABC...M)] alapján [Renderelés ... Tr(AB)=Tr(BA)], ezért a kommutátor nyoma nulla - feltéve, ha ez a nyom létezik, azaz a kiszámítására szolgáló összegezés konvergens. Véges dimenziós esetben ez mindig fennáll, a kérdés csak végtelen dimenzióban merül fel. Mivel egy operátor nyoma reprezentációváltásra nézve invariáns, ezért az állítás nemcsak az operátort reprezentáló mátrixra, hanem magára az operátorra is vonatkozik. Az egységoperátor nyoma viszont nem nulla.
Az első következtetés természetesen az, hogy az ellentmondás következtében ilyen, a Heisenberg-féle csererelációt kielégítő [Renderelés ... p] és [Renderelés ... q] operátorok nem léteznek.
A második, kissé óvatosabb következtetés (ami önmagában igaz, csak nem a teljes válasz) pedig az, hogy a csererelációt véges dimenziós téren ható operátorokkal (és az őket reprezentáló mátrixokkal) nem lehet kielégíteni - ezért a kvantumelméletben végtelen dimenziós téren kell dolgoznunk.
[Az utóbbi állítás önmagában is problematikus. Miért is kellene végtelen dimenzióban dolgoznunk? Hogy kielégítsük a csererelációt, és találjunk a klasszikus mechanikai [Renderelés ... p] és [Renderelés ... q] mennyiségeknek megfelelő operátorokat. Ez lenne egy klasszikusan definiált fizikai rendszer "kanonikus kvantálása", a klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusából kiindulva. Csakhogy a modern kvantumelmélet és számos alkalmazása (pl a nanorendszerek fizikájában) egyre több olyan fizikai rendszerrel és fizikai fogalommal foglalkozik, amelyeknek egyáltalán nincs klasszikus megfelelőjük. Ezért nincs klasszikus Hamilton-féle leírás, nincs szükség kanonikus kvantálásra, tehát a Heisenberg-féle cserereláció egyszerűen nem lép fel. Így a rendszert leíró kvantumelméletet meg lehet fogalmazni véges dimenziós Hilbert-téren (korábbi nevén komplex euklideszi téren) is. Ilyen esetben a felvetett paradoxon nem is merül fel.]
De vizsgáljuk tovább azt az esetet, amikor klasszikusan létező rendszer kanonikus kvantálása a feladat. Azt szokták mondani, hogy végtelen dimenziós téren ható oprerátorokkal (és mátrixukkal) a probléma megkerülhető, mert mind a [Renderelés ... pq], mind a [Renderelés ... qp] operátor nyoma végtelen, és ezek különbsége nyugodtan megegyezhet az egységoperátor szintén végtelen nyomával. Csakhogy ez blabla, játék a szavakkal, a valóban létező probléma elkenése!
Tényleg tudunk olyan végtelenszer végtelenes mátrixokat találni, amelyek (látszólag) teljesítik a feltételt. Legyen [Renderelés ... A] az a végtelen mátrix, amelynek csak a főátló melletti ferde sávjában vannak nem nulla elemek: az [Renderelés ... n]-ik sor [Renderelés ... (n+1)]-ik oszlopában [Renderelés ... \sqrt{n}] áll, minden más elem pedig nulla. A [Renderelés ... B] mátrix pedig legyen [Renderelés ... A] transzponáltja. Ekkor az [Renderelés ... AB] és a [Renderelés ... BA] szorzatmátrix is diagonális lesz, az előbbi főátlójában az [Renderelés ... (1, 2, 3, ...)] számok állnak, az utóbbiéban pedig a [Renderelés ... (0, 1, 2, 3, ...)] számok. A kettő különbsége épp a végtelenszer végtelenes egységmátrix. Az [Renderelés ... A] és [Renderelés ... B] mátrixok azonban nem hermitikusak, ezt pedig fizikai mennyiségek mátrixaitól elvárjuk. Ezen könnyű segíteni: legyen [Renderelés ... Q=(A+B)/\sqrt{2}] és [Renderelés ... P=\frac{ℏ}{i}(A-B)/\sqrt{2}]. Ekkor könnyű belátni, hogy az így értelmezett [Renderelés ... P] és [Renderelés ... Q] mátrixok kielégítik a Heisenberg-féle csererelációt, és hermitikusak is. Látszólag tehát megoldottuk a problémát.
Igen ám, de az így bevezetett [Renderelés ... P] és [Renderelés ... Q] mátrixok nem definiálnak az egész Hilbert-téren ható, mindenütt értelmezett operátorokat! Azaz nincs olyan bázis a vizsgált kvantumrendszer Hilbert-terében, amelyen egy mindenütt értelmezett [Renderelés ... p], illetve [Renderelés ... q] operátort épp a fenti végtelen [Renderelés ... P], illetve [Renderelés ... Q] mátrix reprezentálná!
Ez legegyszerűbben a Hilbert-tér függvényreprezentációjában látható be. Itt a Hilbert-tér elemei (Lebesgue szerint) négyzetesen integrálható függvények, azaz olyan [Renderelés ... f(x)] komplex értékű függvények, amelyekre az [Renderelés ... |f(x)|^2] valós, nemnegatív függvény integrálja véges. A [Renderelés ... q] helyoperátort ilyenkor szokás szerint az [Renderelés ... x]-szel való szorzás, a [Renderelés ... p] impulzusoperátort pedig az [Renderelés ... x] szerinti differenciálás operátorának [Renderelés ... ℏ/i]-szerese képviseli. Ám igen könnyen találhatunk olyan négyzetesen integrálható [Renderelés ... f(x)] függvényeket, amelyek esetében vagy az [Renderelés ... xf(x)] függvény, vagy az [Renderelés ... f'(x)] deriváltfüggvény nem lesz négyzetesen integrálható (esetleg egyikük sem). A [Renderelés ... p] és [Renderelés ... q] operátorok szokásos reprezentációja tehát kivezet a négyzetesen integrálható függvények Hilbert-teréből, mert a tér bizonyos elemeit a téren kívüli függvényekbe képezi le - azaz ezek az operátorok nincsenek értelmezve a teljes Hilbert-téren!
Ugyanerre utal az is, ha megvizsgáljuk a függvénytéren ható fenti operátorok sajátfüggvényeit. A [Renderelés ... p]-t reprezentáló differenciáloperátor sajátdüggvénye az [Renderelés ... exp(ikx)] síkhullám, az [Renderelés ... x]-szer szorzás operátorának sajátfüggvénye pedig a [Renderelés ... \delta(x-a)] Dirac-féle delta-függvény. Egyikük sem tartozik a Hilbert-térbe, a négyzetesen integrálható függvények közé, a Dirac-delta még csak nem is függvény...
A függvénytér "csökkentése", redukálása azon függvényekre, amelyeken a szereplő operátorok tisztességesen viselkednek, nem megoldás: ez a függvényhalmaz nem lesz teljes, tehát nem tud minden kvantumállapotot reprezentálni.
A problémát a kvantummechanika megszületése óta sokan vizsgálták, mind matematikai, mind fizikai szempontból. "Megnyugtató", minden feltételt és minden igényt kielégítő megoldás nem született. Bele kell nyugodnunk, hogy első megérzésünk volt a helyes: a felvetett ellentmondás nem volt látszólagos, a Heisenberg-féle csererelációt kielégítő [Renderelés ... p] és [Renderelés ... q] operátorok egyszerűen nem léteznek.
Ez persze senkit sem akadályoz meg abban, hogy a gyakorlati kvantumos számítások során vidáman alkalmazzák mind a fenti [Renderelés ... P] és [Renderelés ... Q] mátrixokat, mind a függvénytéren ható szokásos operátorokat. Csak tudni kell közben, hogy vékony jégen járunk.
A probléma matematikailag precíz tárgyalása megtalálható Neumann János klasszikus könyvében (A kvantummechanika matematikai alapjai, Akadémiai Kiadó, 1980), és más szemszögű tárgyalással Fényes Imre Modern fizikai kisenciklopédia című alapos összefoglalójában (Gondolat Kiadó, 1971).
dgy