Szabiku vizsgálódásai

Önjelölt zsenik és fórumszabályzat-sértők lezárt témái, mindenki okulására megőrizve.

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.08.24. 19:46

Átgondoltam még egyszer ezt a dolgot meg a variációszámítást, és tettem néhány megjegyzést, kiegészítést más színnel a korábbi hozzászólásomhoz:
viewtopic.php?f=9&t=269&start=9

dgy írta:
szabiku írta:A ds2 két alakjának szimmetriájából is látszik, hogy az inverz metrikus tenzor számára az alsóindexes dxi éppen olyan, mint a rendes metrikus tenzornak a felsőindexes dxi. Érezhető, hogy az alsóindexes dxi-k is tekinthetők konstansnak, ha az inverz metrikus tenzoron keresztül variáljuk a világot. A teret ugyan olyan joggal és teljességgel határozza meg a metrikus tenzor önmagában, mint az inverz metrikus tenzor önmagában.

Ez totális marhaság,

Nem marhaság szerintem. A Landau könyv 351. oldalán van két képlet (94,2) és (94,3):

[Renderelés ... \delta g^{ik} = (\delta x^i)^{;\,k} + (\delta x^k)^{;\,i}], valamint [Renderelés ... \delta g_{ik} = -(\delta x_i)_{;\,k} - (\delta x_k)_{;\,i}]. (A pontosvessző kovariáns deriválást jelöl.)

Ezekből jól látszik, hogy a világ ugyanazon variációja a metrika variálása szerint, vagy az inverz metrika variálása szerint formailag teljesen szimmetrikus (pontosabban antiszimmetrikus, mert ott van az a negatív előjelkülönbség a felső- és alsóindexes alakok között, szóval nincs ötletszerűség...), független a koordináták konkrét értékétől, mintha azok nem is léteznének (mint ugye az "alsóindexes koordináták").
Idézek a 350. oldalról: "az [Renderelés ... x^i] koordinátákról áttérünk az új [Renderelés ... x'^{\,i} = x^i + \xi^i] koordinátákra, ahol [Renderelés ... \xi^i] kis mennyiség."
Ebben [Renderelés ... \xi^i] nem más, mint a koordináták infinitezimális variációja, azaz [Renderelés ... \delta x^i], ami pedig vektor, és a hozzá tartozó alternatív alakja [Renderelés ... \delta x_i] szintén vektor. Ez tulajdonképpen mondhatni olyan, mint a nemlétező "alsóindexes koordináták" "variációja". A negatív előjelt bevihetjük a kovariáns deriválás alá:

[Renderelés ... \delta g_{ik} = (-\delta x_i)_{;\,k} + (-\delta x_k)_{;\,i}], és akkor jobban látszik, hogy egészen hasonló a felsőindexes formulához.

Ebből kifolyólag a [Renderelés ... g_{ik} dx^i dx^k = g^{ik} dx_i dx_k] variációját a baloldali esethez egészen hasonlóan egyszerű parciális deriválással úgy is megalkothatjuk, hogy most a [Renderelés ... dx_i dx_k] koordinátadifferenciálokat tekintjük szabadnak, és így [Renderelés ... \delta g^{ik}] variáció koefficiense [Renderelés ... -\frac{\partial(g^{ik} dx_i dx_k)}{\partial g^{ik}} = -dx_i dx_k] lesz. Így ugyan ahhoz a [Renderelés ... \delta ds^2] variációhoz jutunk, mint a [Renderelés ... \delta g_{ik}] variációhoz rendelt [Renderelés ... \frac{\partial(g_{ik} dx^i dx^k)}{\partial g_{ik}} = dx^i dx^k] koefficienssel. Talán így érthető, hogy nem ötletszerű az a negatív előjel, hanem matematikailag is alapos a Landau könyvben lévő formulák alapján is.

dgy írta:A matematikában és fizikai alkalmazásaiban tudni KELL, mely mennyiségek függetlenek, és melyek függenek valamelyik mástól. Ezt eltévesztve véletlenül akár helyes eredményhez is juthatunk (persze általában nem), de attól még a "levezetés" elvileg hibás marad.

Nem állítottam, hogy általában mindegy lenne, de a metrika (vagy inverz metrika) szerinti variálásánál így is, úgy is eljárhatunk, csak figyelni kell, hogy a világ ugyanazon variációihoz tartozó tagok álljanak végül elő, ne pedig az ellentettje. Pl. egy szorzat variációja esetén, a keletkező tagokat végül egyenként megadjuk [Renderelés ... \delta g_{ik}]-val, vagy [Renderelés ... \delta g^{ik}]-val kifejezve. Így az előjelhelyes összegzésére kell figyelni. Ilyen lényegében Marx György fent beidézett cikke 2. paragrafusának (12)-től (16)-ig része.

Nézzük [Renderelés ... g] variációját:

[Renderelés ... \delta g = \frac{\partial g}{\partial g_{ik}} \delta g_{ik} = [g_{ik}] \delta g_{ik} = g\,g^{ik} \delta g_{ik} = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}], ahol [Renderelés ... [g_{ik}]] a [Renderelés ... g_{ik}]-nak (előjeles) aldetermináns mátrixát jelöli. (Transzponálni nem kell a szimmetria miatt.)

Az utolsó átalakításhoz pusztán felhasználtuk az [Renderelés ... A^{ik}\delta g_{ik} = -A_{ik}\delta g^{ik}] képletet. De e nélkül is eljuthatunk az utolsó formulához, ha visszájára fordítjuk a dolgot (csak most nem a koordináta differenciálok tekintetében, hanem a metrikus tenzorok viszonyaiban):

[Renderelés ... \delta g = \frac{\partial g}{\partial g^{ik}} \delta g^{ik} = \frac{\partial\left((g^{-1})^{-1}\right)}{\partial g^{ik}} \delta g^{ik} = -(g^{-1})^{-2} \frac{\partial(g^{-1})}{\partial g^{ik}} \delta g^{ik} = -g^2 [g^{ik}] \delta g^{ik} = -g^2\frac{1}{g}g_{ik}\,\delta g^{ik} = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}],

ahol [Renderelés ... [g^{ik}]] a [Renderelés ... g^{ik}]-nak (előjeles) aldetermináns mátrixát jelöli. (Transzponálni nem kell a szimmetria miatt.)

Tehát arra jutottunk, hogy [Renderelés ... \delta g = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}], ha az inverz metrikus tenzor szerinti variációkkal írjuk fel.

Majd ebből [Renderelés ... \sqrt{g}] variációja [Renderelés ... \delta g = \delta(\sqrt{g}\sqrt{g}) = 2 \sqrt{g}\, \delta \sqrt{g}] alapján:

[Renderelés ... \delta \sqrt{g} = \frac{1}{2} \frac{\delta g}{\sqrt{g}} = -\frac{1}{2} \sqrt{g}\, g_{ik} \delta g^{ik}].


A metrikus tenzor és inverze kölcsönösen és egyértelműen meghatározzák egymást, így külön-külön a metrikus teret is.

Idézek Novobátzky könyvéből (172. oldal teteje):
"Most a [Renderelés ... g_{ik}] - vagy ami ugyanaz - a [Renderelés ... g^{ik}] mennyiségeket variáljuk."


dgy írta:...más a szerepe a tangestérről a kotangens-térre leképező [Renderelés ... g_{kl}] és az ellenkező irányú leképezést létrehozó [Renderelés ... g^{kl}] tenzoroknak. A látszólagos szimmetria ezt a különbséget gyakran eltakarja - de épp ebben az esetben, az energiaimpulzus-tenzor Hilbert-féle levezetésekor ez a különbség lényeges, nem elhanyagolható...

Miért és hogyan lényeges ez a különbség a Hilbert-féle levezetésben?? :?:

Szerintem a szerepük (ami leginkább a szimmetrikus alsó- felsőindexes célszerűsített szintaxisba van beültetve) teljesen hasonló, és az elméletben (jól kihasználhatóan) inkább ez dominál. A koordinátázás, vagy ahhoz közeli tekintetben persze mindig előjön, hogy tulajdonképpen kicsit mást jelentenek, és talán ezek az alapvető jelentések fel sem cserélhetők, hiába inverzei egymásnak, de ettől még igencsak van matematikai "ereje" és érvénye a kölcsönös inverzségből eredő szimmetriának, amit a szintaxis nemcsak feltüntet, hanem használunk is.


dgy írta:...gőzöd sincs a differenciálható sokaságokról, az áltrel matematikájának alapvető eszközéről.

A múltkor leírtam, hogy a [Renderelés ... dx^k] koordinátadifferenciálok minden diffható sokaságban léteznek, a tangenstér elemei, míg a [Renderelés ... dx_k] mennyiségek csak a Riemann-geometriában, a metrikus tenzor segítségével nyernek értelmet. Ezek a kotangens-tér elemei. A tangens- és a kotangens-tér izomorfok, de nem egyenrangúak, és nem egyforma szerepet játszanak az elméletben.

A relativitáselmélet éppen a Riemann-geometriát használja. Talán felesleges ide vonatkoztatni mindenféle degenerált és elfajult differenciálható sokaságfélét, mert vannak elég eltérőek.

Kovariáns komponensű mennyiségek (alsóindexes vektorok, tenzorok) szerintem a metrikus tenzor nélkül is vannak. A koordinátákkal jellemzett differenciálható sokaságokon az új koordinátákra való áttérésnél (koordinátatranszformáció) az érintőtér vektorai a transzformációelmélet szerint transzformálódnak a transzformáció mátrixának segítségével. Az érintőtér vektorai megegyezés szerűen felsőindexesek.

[Renderelés ... dx^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} dx^k]. Ahol [Renderelés ... \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} = \alpha^{i'}_k] a transzformáció mátrixa. Azonban ezzel a mátrixal úgy is lehet transzformálni, hogy a felsőindexével összegezünk, ami így egy inverz vonatkozást ad az alternatív formára. Jelöljük ezeket a vektorokat [Renderelés ... y]-al, és használjunk alsóindexeket a komponenseinek jelölésére: [Renderelés ... dy_k = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} dy_{i'}].

Továbbá az [Renderelés ... \alpha^{i'}_k] mátrixnak (egyértelmű) inverze is létezik, a [Renderelés ... \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} = \alpha^k_{i'}]. Ezzel beszorozva a két előbbi egyenletet, kapjuk:

[Renderelés ... \alpha^k_{i'} dx^{i'} = \alpha^k_{i'} \alpha^{i'}_l dx^l],

[Renderelés ... \alpha^k_{i'} dy_k = \alpha^k_{i'} \alpha^{l'}_k dy_{l'}].

Az egymásnak inverz transzformációs mátrixok a Kronecker deltát adják: [Renderelés ... \alpha^k_{i'} \alpha^{i'}_l = \delta^k_l = 1], valamint [Renderelés ... \alpha^k_{i'} \alpha^{l'}_k = \delta^{l'}_{i'} = 1] Tehát:

[Renderelés ... \alpha^k_{i'} dx^{i'} = \delta^k_l dx^l = dx^k],

[Renderelés ... \alpha^k_{i'} dy_k = \delta^{l'}_{i'} dy_{l'} = dy_{i'}].

Parciális deriváltakkal felírva:

[Renderelés ... dx^k = \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} dx^{i'}], ami inverze a legelső [Renderelés ... dx^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} dx^k] transzformációnak. Valamint:

[Renderelés ... dy_{i'} = \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} dy_k], aminek inverze a második [Renderelés ... dy_k = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} dy_{i'}] (alternatív) transzformációs forma.


Most szorozzuk össze a két transzformált vektort, és külön két eredeti vektort a kapott képletek alapján:

[Renderelés ... dy_{i'} dx^{i'} = \frac{\partial x^l}{\partial x^{i'}} \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k} dy_l dx^k], és:

[Renderelés ... dy_{k} dx^k = \frac{\partial x^{l'}}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}} dy_{l'} dx^{i'}].

Vegyük észre bennük a közvetett deriválást, és utána azt, hogy [Renderelés ... \frac{\partial x^l}{\partial x^k} = \delta^l_k = 1], valamint [Renderelés ... \frac{\partial x^{l'}}{\partial x^{i'}} = \delta^{l'}_{i'} = 1]. Ezzel:

[Renderelés ... dy_{i'} dx^{i'} = \delta^l_k dy_l dx^k = dy_k dx^k = dy_i dx^i], és:

[Renderelés ... dy_{k} dx^k = \delta^{l'}_{i'} dy_{l'} dx^{i'} = dy_{i'} dx^{i'} = dy_{k'} dx^{k'}].

Mindkét sorban ugyanaz vehető észre, hogy a felsőindexes [Renderelés ... dx] és az alsóindexes [Renderelés ... dy] vektorok szorzata független a transzformációtól, vagyis a koordináta-rendszer választásától. Ez pedig nem lehet más, mint invariáns skalár, a két vektor skaláris szorzata. Egyéb tekintetben idáig a [Renderelés ... dy] és [Renderelés ... dx], azaz az alsóindexelésű és a felsőindexelésű vektorok kapcsolata egyelőre szabad. Rendkívül hasznos lenne a differenciálható sokaság szomszédos elemeinek valamilyen invariáns, tehát a koordináta-rendszertől teljesen független viszonyát kifejezni. Erre pedig éppen megfelelő az előbbi két tulajdonság, így célszerű [Renderelés ... dy]-t [Renderelés ... dx] vektor alternatívájának használni, ezért nem is kell külön betűvel jelölni, egyszerűen az indexek írásának helyzete hordozza azt az információt, hogy [Renderelés ... dx] melyik alakjáról van szó. Tehát [Renderelés ... dx_i dx^i = ds^2], ami a sokaság két szomszédos elemének koordináta invariáns skalár [Renderelés ... ds] távolságának négyzetét jelenti. A koordináta vonalak tetszőleges (de különböző) iránya egy (akár negatív dimenziót is tartalmazó) [Renderelés ... n] dimenziós elemi "paralelepipedont" feszítenek ki a térben. A [Renderelés ... dx] vektor hosszának négyzete ennek megfelelően az általános kvadratikus forma szerint számítható ki, tehát: [Renderelés ... dx_i dx^i = ds^2 = g_{ik}dx^i dx^k], ahol [Renderelés ... g_{ik}] a metrikus tenzor. Ezzel a mátrixal végezhető el az átalakító transzformáció a felsőindexes alakról alsóindexes alakra való áttéréskor, és láthatóan szimmetrikus is. A [Renderelés ... g^{ik}] inverzel pedig az alsóindexes alakról a felsőindexes alakra térhetünk át. Nyilván [Renderelés ... g_{il}g^{lk} = \delta^k_i = 1], és [Renderelés ... g_{i'k'} = \alpha^l_{i'}\alpha^m_{k'} g_{lm}]. Az általánosan "paralelepipedon" alakú többdimenziós teljes kifeszített térfogatelem pedig a [Renderelés ... g_{ik}] mátrix (metrikus tenzor) [Renderelés ... g] determinánsának abszolút értékének gyökével lesz arányos: [Renderelés ... \sqrt{|g|}d\Omega], ahol [Renderelés ... d\Omega = dx^1 dx^2 dx^3 ... dx^n] szorzat. A teljes térfogatelem invariáns skalár. Ezek a [Renderelés ... dx^i], és [Renderelés ... dx_i] elemi infinitezimális vektorok a differenciálható sokaság elemeihez rendelhető mennyiségek (skalárok, vektorok, tenzorok..) prototípusai lesznek. (Van olyan jellegű eset, azaz differenciálható sokaság, melyen ellentmondáshoz vezet a metrika definiálása, vagy éppen csak a teljes sokaságra ellentmondó, de megfelelő tulajdonságokkal és összefüggéssel rendelkező tartományán talán mindig megtehető...)


dgy írta:No de lássuk a medvét: hic Rhodus, hic salta!

Íme egy konkrét probléma: Legyen [Renderelés ... \Phi(x)] egy görbült négyessokaságon értelmezett skalármező. Ennek hatásintegrálja:

[Renderelés ... S[\Phi]=\int{d^4x\,\sqrt{-g} \,\,L(\Phi, \partial\Phi)}]

Itt [Renderelés ... g] az alsó indexes metrikus tenzor determinánsa. (A Landau-féle előjel-konvenciót használjuk.)

Az [Renderelés ... L] Lagrange-sűrűség a következő:

[Renderelés ... L=\frac{1}{2}\,\partial_k\,\Phi\,\partial^k\,\Phi-V(\Phi)]

ahol [Renderelés ... V(\Phi)] a skalármező önkölcsönhatását leíró nemnegatív polinom.

A gradienses kifejezés most is két egyenértékű alakban írható fel:

[Renderelés ... \partial_k\,\Phi\,\partial^k\,\Phi\,=\,g_{kl}\,\partial^k\Phi\,\partial^l\Phi\,=\,g^{kl}\,\partial_k\Phi\,\partial_l\Phi]

Kéretik levezetni Hilbert módszerével a fenti hatáshoz tartozó energiaimpulzus-tenzort. Nix mese, nix ideológia, nix ugribugri! Nem duma kell a tenzorok és a variációs módszerek egyenértékűségéről, hanem a fenti kifejezésekból és az egy korábbi cikkben már leírt Hilbert-féle definícióból kiinduló, nem utólag megpatkolt, hanem minden lépésében matematikailag is helyes levezetés (azaz olyan képletsorozat, ahol az egyenlőségjel két oldalán levő mennyiségek valóban minden esetben egyenlőek egymással). Az sem árt, ha a kritikus lépésekhez szóbeli indoklás is társul.

Segítség: fel lehet használni a Marx-féle cikkben szereplő képlet Landau-konvenció esetén érvényes verzióját:

[Renderelés ... \delta\,\sqrt{-g}=\frac{1}{2} \,\sqrt{-g}\,g^{kl}\,\delta g_{kl}]

Ha ez az energiaimpulzus-tenzor megszületett (és helyes, a megfelelő indoklással), akkor lehet tovább ideologizálni.

(Az első képletben az integráljel elől lemaradt az [Renderelés ... \frac{1}{c}].)
Lássuk:

[Renderelés ... T_{kl} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\partial(\sqrt{-g}L)}{\partial g^{kl}} - \partial_l \frac{\partial(\sqrt{-g}L)}{\partial(\partial_l g^{kl})}]. (Landau könyv 352. oldal, (94,4) képlet)

Sem [Renderelés ... \sqrt{-g}], sem [Renderelés ... L] nem függvénye [Renderelés ... \partial_l g^{ik}]-nak, ezért a második tag eltűnik. Marad:

[Renderelés ... T_{kl} = 2\frac{\partial L}{\partial g^{kl}} + \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\partial(\sqrt{-g})}{\partial g^{kl}} L].

[Renderelés ... \sqrt{-g}] variációjához hasonlóan [Renderelés ... d\sqrt{-g} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g^{kl}dg_{kl} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{kl}dg^{kl}]. Ezt felhasználva a második taghoz, adódik:

[Renderelés ... T_{kl} = 2\frac{\partial L}{\partial g^{kl}} - g_{kl}L].

A második tagba egyszerűen behelyettesítjük [Renderelés ... L]-et, kapjuk:

[Renderelés ... T_{kl} = 2\frac{\partial L}{\partial g^{kl}} - g_{kl}\left(\frac{1}{2}\partial_m\Phi\partial^m\Phi - V(\Phi)\right)].

Az első tag [Renderelés ... 2\frac{\partial L}{\partial g^{kl}} = \frac{\partial}{\partial g^{kl}}(\partial_m\Phi\partial^m\Phi - 2V(\Phi)) = \frac{\partial}{\partial g^{kl}}(\partial_m\Phi\partial^m\Phi)], mert [Renderelés ... \Phi]-t és [Renderelés ... V(\Phi)]-t is függetlennek tekintjük a metrikus tenzortól (és az inverz metrikus tenzortól is).

[Renderelés ... \partial_m\Phi\partial^m\Phi] skalárt a célravezető (azaz egyszerűen elvégezhető) parciális deriváláshoz [Renderelés ... g^{kl}] függvényeként kell tekinteni. Ehhez a [Renderelés ... g^{mn}\partial_m\Phi\partial_n\Phi] felírás lesz a megfelelő. Meg kell még gondolnunk azt a fontos dolgot, hogy [Renderelés ... T_{ik}] felállításán most egy variációs elven belül dolgozunk, mely olyan, hogy akár [Renderelés ... g_{ik}], akár [Renderelés ... g^{ik}] szerinti parciális deriváláskor, ha a felsőindexes koordinátadifferenciálokat szeretnénk szabadnak tekinteni, akkor nem kell negatív előjellel venni a parciális deriváltat a [Renderelés ... \delta g_{ik}], vagy [Renderelés ... \delta g^{ik}] koefficienséhez. Ha viszont akár [Renderelés ... g_{ik}], akár [Renderelés ... g^{ik}] szerinti parciális deriváláskor az alsóindexes koordináta differenciálokat szeretnénk szabadnak tekinteni, akkor a parciális derivált ellentettjét kell felhasználni a koefficienshez, különben az ellentett variációhoz jutnánk. Ezt a dolgot nem lehet előre szintaktálni a képletekben, mert formafüggő. A forma pedig a képletek azonos átalakításával változik. Egyáltalán nem jó ezt "utólagos patkolásnak" tekinteni. A leírt eljárás matematikai helyessége egyszerűen belátható a Landau könyv (94,2) és (94,3) második képleteinek formáit együtt tekintve.

Az első esetben vagyunk, mert a [Renderelés ... \partial_k \equiv \frac{\partial}{\partial x^k}]-ban felsőindexes koordinátadifferenciál szerepel. A parciális deriválást elvégezve kapjuk:

[Renderelés ... \frac{\partial}{\partial g^{kl}}(g^{mn}\partial_m\Phi\partial_n\Phi) = \partial_k\Phi\partial_l\Phi]. (Ugye csak m = k, és n = l indexek esetén lesznek tagok, mert a metrikus tenzor komponensei ezen parciális deriválás során egymástól függetlennek tekintendők. Tehát az indexek így ennek megfelelően azonosulnak.)

Készen is vagyunk, az energiaimpulzus-tenzor ezek szerint:

[Renderelés ... T_{kl} = \partial_k\Phi\partial_l\Phi - g_{kl}\left(\frac{1}{2}\partial_m\Phi\partial^m\Phi - V(\Phi)\right)].


A [Renderelés ... \partial_m\Phi\partial^m\Phi = g_{mn}\partial^m\Phi\partial^n\Phi] alak a [Renderelés ... g_{kl}] szerinti parciális deriválás esetében lenne célravezető. Ekkor így [Renderelés ... \delta g_{kl}] koefficiensét a derivált ellentettje adja ugyanahhoz a [Renderelés ... \delta S] variációhoz, mert a [Renderelés ... \partial^k \equiv \frac{\partial}{\partial x_k}]-ban alsóindexes koordinátadifferenciál szerepel, és ugye ekkor ezt szeretnénk (mert megtehetjük) szabadnak tekinteni.
Az előbbi részletezés második esetében vagyunk, és ekkor (94,5) második alakjában dolgozunk:

[Renderelés ... \delta S = \frac{1}{2c}\int{T_{kl}\delta g^{kl}\sqrt{-g} d\Omega} = -\frac{1}{2c}\int{T^{kl}\delta g_{kl}\sqrt{-g} d\Omega}].


Ennek a feladatnak csupán módszertani jelentősége van az általános relativitáselméletben, ugyanis hiányzik [Renderelés ... \Phi] metrikus tenzortól való függése. A kvantumelméletben a hullámfüggvény komplex értékű, ellenben itt [Renderelés ... \Phi] valós. A kvantumtérelméletben van ilyen, mint operátor, de az már egészen más lapra tartozik...
Az önkölcsönhatást tartalmazó [Renderelés ... V(\Phi)] is csak a mértéktérelméleti Higgs-mechanizmus által nyer igazán értelmezhetőséget...

Talán így jobb (ezt utólag írtam hozzá):
Ennek a feladatnak egyelőre csupán módszertani jelentősége van az általános relativitáselméletben, és úgy egyáltalán a relativitáselméletben, ugyanis az anyagot és létét itt egy olyan [Renderelés ... \Phi] mező jelenti, melynek értéke akár csak egy infinitezimálisan kis téridő tartomány kiterjedésben ha nulla, az energiaimpulzus-tenzor itt [Renderelés ... V(\Phi)] jellegéből adódóan akkor sem nulla. Ez a relativitáselméletben a kozmológiai állandóhoz hasonló esetet vet fel...
A kvantumelméletben, de pontosabban mondva a kvantumfizikai mértéktérelméletben a Higgs-mechanizmus hasonló nem eltűnő vákuumértékű hipotetikus mezővel jön létre, és az önkölcsönhatást tartalmazó [Renderelés ... V(\Phi)] a mértéktérelméleti Higgs-mechanizmus által értelmezhetőséget nyer...

Lentebb DGy-nek igaza van, ez komoly találkozási pontja lehet a részecskefizikának és a relativitáselméletnek... :D (ebben kicsit tájékozatlan voltam...)
A hozzászólást 2 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.11.27. 23:24-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.25. 17:10

szabiku:
A Landau könyv 351. oldalán van két képlet (94,2) és (94,3):
δgik=(δxi);k+(δxk);i, valamint δgik=−(δxi);k−(δxk);i. (A pontosvessző kovariáns deriválást jelöl.)

Nomármost aki megnézi a Landaut, meglepetéssel veheti észre, hogy az ottani (94.2) és (94.3) képletek nem azonosan szabiku itt közölt formuláival. Az itt szereplő [Renderelés ... dx^k]-k és [Renderelés ... dx_k]-k helyén ott egy [Renderelés ... \xi] vektormező [Renderelés ... \xi^k], illetve [Renderelés ... \xi_k] komponensei szerepelnek. Amely mező természetesen nem azonos egy koordináta differenciáljával, köztük a különbség ég és föld. Szabiku tehát nem csak ostobaságokat ír, tekintélyekre hívatkozva, hanem azokat meg is hamisítja, azaz röviden szólva hazudik.

Mármost két eset van: a/ szándékosan teszi. Ez őt minősíti, bár nem értem a célját. b/ Nem is érti a különbséget - én erre tippelek. Ez esetben viszont tényleg nincs miről beszélni.
azaz δxi, ami pedig vektor, és a hozzá tartozó alternatív alakja δxi szintén vektor.

Aki nem ismeri a vektorok és kovektorok közti különbséget, avagy lényegtelennek tartja, az ne beszéljen diffgeoról.
Ez tulajdonképpen mondhatni olyan, mint a nemlétező "alsóindexes koordináták" "variációja".

Tulajdonképpen nem mondhatni.

A [Renderelés ... \xi_k] kovektormező létezik, az [Renderelés ... x_k] "alsóindexes koordináták" nem léteznek. Pont. A [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség (amely persze Landau "idézett" képleteiben nem szerepel), szintén nem létezik, és nem variációja semmiféle "alsóindexes koordinátának".
Kovariáns komponensű mennyiségek (alsóindexes vektorok, tenzorok) szerintem a metrikus tenzor nélkül is vannak.

Mindkét sorban ugyanaz vehető észre, hogy a felsőindexes dx és az alsóindexes dy vektorok szorzata független a transzformációtól, vagyis a koordináta-rendszer választásától.

Ez az, amit a lineáris algebra kurzusok elején tanítanak, vektortér és duálisa címén.
Ez pedig nem lehet más, mint invariáns skalár, a két vektor skaláris szorzata.

Ez viszont természetesen nem igaz, mert a skaláris szorzás - definíció szerint - azonos halmazba tartozó két vektor szorzata, míg a felső indexes vektorok és az alsó indexes kovektorok két különböző halmazba (vektortér és duális tér) tartoznak.
Egyéb tekintetben idáig a dy és dx, azaz az alsóindexelésű és a felsőindexelésű vektorok kapcsolata egyelőre szabad.

Úgy bizony.
Erre pedig éppen megfelelő az előbbi két tulajdonság, így célszerű dy-t dx vektor alternatívájának használni, ezért nem is kell külön betűvel jelölni, egyszerűen az indexek írásának helyzete hordozza azt az információt, hogy dx melyik alakjáról van szó.

Node könyörgöm, melyik dy vektort "használjuk" a dx "alternatívájának"? Ugyanis végtelen sok van belőle... :)
ahol gik a metrikus tenzor. Ezzel a mátrixszal végezhető el az átalakító transzformáció a felsőindexes alakról alsóindexes alakra való áttéréskor

Eszerint mégsem működik a dolog a metrikus tenzor nélkül? :)

Az a néhány alapvető információ nem ment át a szerző fejébe, hogy

a/ a lineáris tér fogalmában nincs benne a "skaláris szorzás" művelete, azt külön kell bevezetni, és ekkor már egy új struktúrát kapunk;
b/ a duális tér fogalma viszont a vektortér definíciójából következik, ezt tehát nem kell külön értelmezni, mindig létezik;
c/ a duális tér elemének (funkcionál) hatása a vektortér egy elemére skalárt eredményez, ezt a műveletet viszont nem szabad összekeverni a vektortér két eleme közti skaláris szorzással;
d/ a metrikus tenzor egy kitüntetett izomorfizmust létesít a vektortér és duálisa között, ezzel lehetővé teszi a skaláris szorzat bevezetését;
e/ a metrikus tenzort viszont mi választjuk ki, önkényesen (vagy később felírandó feltételek alapján) a végtelen sok lehetőségből;
f/ hasonlóképp, a diffható sokaságok adott pontbeli érintőtere a sokaság definíciója alapján mindig létezik (elemei a vektorok);
g/ ennél fogva mindig létezik a duálisa, a koérintőtér is (elemei a kovektorok);
h/ e két tér egy-egy eleméhez egyértelműen hozzárendelhető egy skalár;
i/ ez azonban nem az érintőtér két vektorának skaláris szorzata;
j/ skaláris szorzatról csak akkor beszélhetünk, ha egy pontonként megadott metrikus tenzor (azaz egy kétszer kovariáns tenzormező) megadásával létrehozunk egy pontonkénti kitüntetett izomorfizmust az adott pontbeli érintőtér és a duálisa között;
k/ a metrikus tenzormező megadása azonban önkényes, választani kell a végtelen sok lehetőség közül (az áltrelben az Einstein-egyenletek segítik a választást, de ez már a diffgeon túli extra információ);
l/ a sokaságok alapfogalmai közé nem tartozik a sokaság "két szomszédos pontja közti távolság";
m/ a metrikus tenzor bevezetése után segítségével értelmezhető a szomszédos pontok közti "ívelemnégyzet";
n/ pozitív definit metrikus tenzormező esetén ez értelmezhet egy metrikát, távolságfogalmat;
o/ mindez azonban már a sokaságok alapfogalmain túlmenő fogalomkészlet;
p/ ha a metrikát megváltoztatjuk, akkor a segítségével definiált mennyiségek is megváltoznak, a nélküle is létezők pedig nem, és ez a megkülönböztetés objektív;
q/ a koordináta felső indexes mennyiség, de nem vektor;
r/ a felső indexes koordinátadifferenciál az adott pontbeli érintőtér eleme, vektor, de nem vektormező, ezért pl nem lehet kovariánsan deriválni (mint az idézett hamisított képletben);
s/ az alsó indexes koordináta-differenciált csak a metrikus tenzor segítségével lehet értelmezni, ezért NINCS olyan metrika-variáció, amelyben ez állandónak tekinthető;
t/ az alsó indexes [Renderelés ... dx_k] koordináta-differenciál létezik, de a [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség nem létezik;
u/ ez az alsó indexes koordináta-differenciál nem differenciálja semmiféle alsó indexes koordinátának;
v/ a variálás formai szabályai nem önkényesek, megegyeznek a differenciálás szabályaival;
w/ sehol sem szerepel olyan szabály, hogy bizonyos esetekben tetszésem szerint beilleszthetek egy minusz előjelet;
z/ ezért bizonyos képletek formai hasonlósága nem jelent tartalmi hasonlóságot.
Meg kell még gondolnunk azt a fontos dolgot, hogy Tik felállításán most egy variációs elven belül dolgozunk, mely olyan, hogy akár gik, akár gik szerinti parciális deriváláskor, ha a felsőindexes koordinátadifferenciálokat szeretnénk szabadnak tekinteni, akkor nem kell negatív előjellel venni a parciális deriváltat a δgik, vagy δgik koefficienséhez. Ha viszont akár gik, akár gik szerinti parciális deriváláskor az alsóindexes koordináta differenciálokat szeretnénk szabadnak tekinteni, akkor a parciális derivált ellentettjét kell felhasználni a koefficienshez, különben az ellentett variációhoz jutnánk. Ezt a dolog nem lehet előre szintaktálni a képletekben, mert formafüggő. A forma pedig a képletek azonos átalakításával változik.

Hát erről van szó.

Ha valamit "nem lehet szintaktálni a képletekben", akkor rossz a formalizmusod. Vagy nem tanultad meg a jó formalizmust. Most az utóbbi eset áll fenn.
szeretnénk szabadnak tekinteni

A metematika nem kívánsághangverseny. Ha Isaurát szeretnénk szabadnak tekinteni, akkor nálam lehet adakozni a rabszolgaságból való kiváltására. A koordináta-differenciálok esetében viszont nem ez a helyzet - a felső indexes mennyiség szabad (független a metrika megválasztásától), az alsó indexes nem szabad, nem független, mert őt a metrikus tenzor definiála. Nincs választási lehetőség, ez nem "szeretet" kérdése.

No de tegyük fel, hogy elfogadjuk a szerző furcsa variációszámítását, amely a felső indexes metrikus tenzor szerinti variáláskor beilleszt egy minusz előjelet. Vajon miért nem teszi meg ezt az energiaimpulzus-tenzor levezetésekor?
Az első esetben vagyunk

Mit is jelent ez a kijelentés? Hogy mégsem mindegy, a tenzor melyik fajtája szerint variálunk, mikor tesszük ki azt a fránya minusz jelet, és mikor nem? Most éppen nem tesszük ki, hogy kijöjjön az irodalomban ismert alak?

Ugyan már. Teljes katyvasz.

-----------
Persze hogy nem erről van szó. A múltkor, a pontmechanikai számolásban egy [Renderelés ... g_{kl}\,dx^k\,dx^l] alakú kifejezést kellett a metrika szerint variálni. TUDJUK (nem csak szeretnénk!), hogy a [Renderelés ... dx^k] mennyiségek függetlenek a metrika megválasztásától, ezért a fenti mennyiség metrika szerinti variációja [Renderelés ... dx^k\,dx^l\,\delta g_{kl}\,].

A mostani esetben, a skalármező Lagrange-sűrűségében a [Renderelés ... g^{kl}\,\partial_k \Phi\,\partial_l \Phi] kifejezés szerepel. TUDJUK (a diffgeo elemeiből), hogy egy skalármennyiség parciális deriváltja nem vektormező, hanem kovektormező (alsó indexes mennyiség), és pedig nem formai okból (mert alulra írtuk az indexet), hanem mert a közvetett deriválás szabályaiból levezethető, hogy úgy transzformálódik, ahogy egy kovektornak KELL transzformálódnia. Épp ezért a parciális deriváltat, a gradienst tekintik a kovektormező prototípusának. Ezért TUDJUK (nem csak szeretnénk!), hogy a metrika variálásakor a parciális deriváltak változatlanok maradnak. Így a fenti mennyiség metrika szerinti variációja [Renderelés ... \partial_k \Phi\,\partial_l \Phi\,\delta g^{kl}] lesz. Innen már könnyen levezethető az energiaimpulzus-tenzor.

Szándékosan adtam fel ezt, a korábbi példával ellentétes jellegű feladatot. Ha az ember tudja, mi függ a metrikától és mi nem, akkor mindkét feladat triviálisan megoldható. Ha nem tudja, akkor csak hosszas halandzsára telik, és a találat esélyét a "vak tyúk effektus" szabályai határozzák meg. Ez történt most is.

A lényeg az, hogy nem önkényes választás és nem "szeretés" kérdése, hogy mikor mit tekintünk függetlennek és mit variálandónak - ezt kőkemény matematikai szabályok rögzítik. Aki ezt nem érti, és önkényesen játszadozik a minuszok beszúrásával vagy be nem szúrásával, miközben ekvivalensnek tekint egymástól lényegesen különböző, másképp definiált mennyiségeket, az nem matematikát űz, hanem értelmetlen játékot. Mint ahogy nem lehet pénzügyi szakembernek tekinteni azt sem, aki a pénzérméket vagy a bankjegyeket ropogós vagy csillogó mivoltuk alapján gyűjti vagy osztályozza. Ez is lehet érdekes játék, de nem lesz hasznos abban az értelemben, amire a pénzt igazából szánták. Ugyanígy, az önkényes matematikai "szabályok" kifundálása egyrészt értelmetlenné, esetlegessé, másrészt (és legfőképpen) használhatatlanná, követhetetlenné és taníthatatlanná teszi a szabályrendszert. Márpedig a matematika bár nehéz, de logikus, megfelelő erőfeszítéssel használható, követhető és megtanulható.

Kár, hogy nem mindenki akarja (vagy tudja) megtanulni.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.26. 16:22

szabiku:
Ennek a feladatnak csupán módszertani jelentősége van az általános relativitáselméletben, ugyanis hiányzik Φ metrikus tenzortól való függése. A kvantumelméletben a hullámfüggvény komplex értékű, ellenben itt Φ valós. A kvantumtérelméletben van ilyen, mint operátor, de az már egészen más lapra tartozik...
Az önkölcsönhatást tartalmazó V(Φ) is csak a mértéktérelméleti Higgs-mechanizmus által nyer igazán értelmezhetőséget...

Ismét okosabbak lettünk!

Negyven év fizikusai és kozmológusai hálatelt szívvel rebegnek köszönetet szabikunak, amiért felvilágosította őket: teljesen értelmetlen és felesleges, "csupán módszertani jelentőségű" kérdésen törték a fejüket évtizedeken át, munka- és gyakran szabadidejükben is. De most - így kikupálódva - ígérik, többet nem tesznek ilyen botorságot...

Amúgy konkrétan "ez a feladat", azaz az általam korábban ideírt, a skalármezőre vonatkozó Lagrange-függvény volt az a probléma, aminek alapján 1980-ban Guth és Steinhardt felfedezte az infláció jelenségét. Nem a kvantumtérelméletben, nem az operátorok körében, nem a mértékelméletben, hanem az általános relativitáselméletben, a kozmológiában...

Majd írok nekik, hogy nyugodtan várjanak a Nobel-díjjal addig, amíg szabiku el nem magyarázza nekik, mikor és mi által "nyer a felfedezésük igazán értelmezhetőséget"...

:)

Lassan ideje lenne valakinek visszavenni valamit a hatalmas arcából...

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2016.08.26. 22:08

Dgy, rajtad kívül senki nem olvas szabikut...

Szabiku: bazdmeg, a formalizmust tanulod éppen, elég lassan, mert tanulás helyett te csak hadakozol, és csak akkor látsz be valamit nagy nehezen, ha legyőztek. Ez így nem a kifizetődő út. Millió félreértésed van, de minden tévedésednél azonnal mindenki hibás lesz, csak te vagy helikopter. Mire való ez? Én is tök hülyén jöttem a világra, de azóta ha valamit nem értek, akkor kérdezek. Te meg azonnal cáfolsz, arrogánsan és smilykkal. Annyira szánalmas....


dgy írta:Lassan ideje lenne valakinek visszavenni valamit a hatalmas arcából...


Én vissza tudnék belőle venni, de az olyan adminisztratív, meg hatalmaskodó eljárás lenne... Te sokkal szofisztikáltabban próbálsz visszavenni arcából, de neked sem megy. Hát akkor, mi működik?
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2308
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 245 times
Been thanked: 427 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.27. 00:26

Lassan ideje lenne valakinek visszavenni a hatalmas arcából.

Elnézést, itt a nyelvtani kétértelműségből eredő félteértés áll fenn. (Talán ismeritek a"beül a kocsijába, elhajt a házába..." viccet.)

Szóval nekem eszem ágában sem volt azt javasolni, hogy A ember nagy arcát B ember próbálja méretre szabni... Az idézett mondat azt akarta jelenteni, hogy mindenki maga próbálja korlátozni a saját arcberendezése méretét.

Sz. nem sérti a szabályzatot, csak hülyeségeket beszél. És ez nem bűn, csak qrwára fárasztó. Kinéz valami apró, lényegtelen technikai kérdést, amelyben korábban tévedett (általában ismerethiányból, vagy mert nem tanult meg disztingválni néhány közeli, de mégsem azonos fogalom között), és hosszú-hosszú, nagyrészt fizikailag és matematikailag értékelhetelen ömlengésekben próbálja "bizonyítani", hogy úgy is lehet(ne) csavarni a fogalmakat, hogy neki legyen igaza. Ez legutóbb addig fajult, hogy tekintélyre hívatkozva (szándékosan vagy hozzá nem értésből) meghamisította az idézett képleteket.

Én csak azért válaszolgatok, nehogy valaki kívülálló azt higgye, hogy egy képletet vagy akár egy előjelet komolyan lehet venni a hosszú szövegekből. Ami igaz benne, az nem új, benne van a tankönyvekben, ami új, az viszont - nagyrészt az alapfogalmak félreértése vagy meg nem értése miatt - egyszerűen nem igaz. De már nagyon unom a válaszolgatást, értelmesebb munkától és cikkektől veszi el az időt.

A másik nagyon bosszantó dolog az a teljesen alaptalan fölényeskedés, ahogy sz. magát az egész tudományon és a tudománytörténeten kívül, sőt felül helyezve neves tudósokat és egész tudományágakat próbál leszólni, leminősíteni, elhelyezni valahol az alvégen - amivel persze megint magát teszi nevetségessé, hiszen rendre kiderül, hogy e téren sincs tisztában az alapvető tényekkel.

Azt hiszem, megint túl sok időt és fáradságot áldoztam rá. Ezentúl kevésbé teszem. De attól, hogy nem reagálok, még ne gondolja senki, hogy sz. igazat beszél. Ha eddig nem tette, miért tenné ezentúl?

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.08.27. 03:58

dgy írta:Nomármost aki megnézi a Landaut, meglepetéssel veheti észre, hogy az ottani (94.2) és (94.3) képletek nem azonosan szabiku itt közölt formuláival. Az itt szereplő [Renderelés ... dx^k]-k és [Renderelés ... dx_k]-k helyén ott egy [Renderelés ... \xi] vektormező [Renderelés ... \xi^k], illetve [Renderelés ... \xi_k] komponensei szerepelnek. Amely mező természetesen nem azonos egy koordináta differenciáljával, köztük a különbség ég és föld.

Sehol sem írtam azt, hogy [Renderelés ... \xi^k] az egy [Renderelés ... dx^k] koordinátadifferenciál volna. A koordinátadifferenciál az a sokaság két infinitezimálisan szomszédos, de különböző elemének koordinátáinak különbsége. A [Renderelés ... \xi^i = \delta x^i] pedig a sokaság egy elemének tetszőleges új és régi koordinátáinak infinitezimális különbsége, azaz variációja (és ezt ugye mindenhol értve). Teljesen világosan és érthetően le van írva a hozzászólásomban... Úgyhogy elutasítom az ezzel kapcsolatos durva vádakat...

dgy írta:Aki nem ismeri a vektorok és kovektorok közti különbséget, avagy lényegtelennek tartja, az ne beszéljen diffgeoról.

Az, hogy [Renderelés ... \xi_k = \delta x_k]-ra azt írtam, hogy: "vektor", semmi baj nincs. A kovektor is vektor. Novobátzky sem írogatja folyton az alsóindexes vektorokra, hogy kovektor. Teljesen felesleges, hiszen a "ko-" információt hordozza az indexek írásának alsó vagy felső helyzete.

dgy írta:A [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség (amely persze Landau "idézett" képleteiben nem szerepel), szintén nem létezik...

[Renderelés ... \xi_i] infinitezimális, (felsőindexes) koordinátavariációból ered, és alsóindexes alternatív alak (kovektor, ha úgy tetszik). Ezek alapján teljesen értelmesen így is jelölhető: [Renderelés ... \delta x_i].

dgy írta:
szabiku írta:Mindkét sorban ugyanaz vehető észre, hogy a felsőindexes dx és az alsóindexes dy vektorok szorzata független a transzformációtól, vagyis a koordináta-rendszer választásától.

Ez az, amit a lineáris algebra kurzusok elején tanítanak, vektortér és duálisa címén.

Igen, persze, értem... no problem.

dgy írta:
szabiku írta:Ez pedig nem lehet más, mint invariáns skalár, a két vektor skaláris szorzata.

Ez viszont természetesen nem igaz, mert a skaláris szorzás - definíció szerint - azonos halmazba tartozó két vektor szorzata, míg a felső indexes vektorok és az alsó indexes kovektorok két különböző halmazba (vektortér és duális tér) tartoznak.

De igaz, mert (ahogy megfogalmaztam) az egyenlőségekből láthatóan invariáns skalár értékű az a szorzat. És mivel a szorzat egyik, illetve másik tényezője is (a maga halmazában) vektor, ez lesz a skaláris szorzat definíciója ebben a struktúrában. (Azonos indexhelyzetű vektorok ilyen összegezős szorzata nem mutatkozik ebben a struktúrában invariáns skalár értékűnek, sőt egyáltalán semmi hasznosat nem jelentenek.) És ezután jön az, hogy hát mivel a skaláris szorzat definíció szerűen azonos halmazba tartozó két vektor szorzatát jelenti, következik, hogy ez a két halmaz (az alsóindexes vektorok, és a felsőindexes vektorok) valahogyan egybetartozik. (Ami nem meglepő, hiszen ebben a transzformációelméletben maga az egyértelmű inverzitás generálja ezeket az összetartozó halmazokat.)

dgy írta:Node könyörgöm, melyik dy vektort "használjuk" a dx "alternatívájának"? Ugyanis végtelen sok van belőle...

Egyszerűen célszerűen és hasznosan rendeljük őket össze, mentesen mindenféle felesleges bonyolítástól, és ahhoz tartozó felesleges információtól. A két (alternatív) halmaz már definiálódott, tehát már megvan a transzformációelméletből adódóan. Az összerendeléshez, mint egyértelmű párok kiválasztásához, a szorzás általános kvadratikus formáját használjuk fel, mely egyébként is jól illeszkedik a transzformációelméletben lévő inverzitáshoz, hiszen ez is éppen ugyan olyan mátrixszorzásos művelet, mint amilyennel a koordinátatranszformációnál dolgoztunk. [Renderelés ... g_{ik}]-nak is éppen úgy egyértelmű és létező az inverze, mint [Renderelés ... \alpha^{i'}_k]-nak. [Renderelés ... g_{ik}] és [Renderelés ... g^{ik}] is transzformáció mátrixok, csak éppen nem két különböző koordinátázás között transzformálnak, mint [Renderelés ... \alpha^{i'}_k] és [Renderelés ... \alpha^k_{i'}], hanem a két alternatív alak között, amit így nevezhetünk egymás duálisának, hiszen ezzel "szorosan egybe is kötöttük" ezeket. A megelőlegezett "alternatív (alak)" jelző teljes érvényre emelkedett. Az egymáshoz rendelés így egyszerű, oda-vissza egyértelmű, célszerűen hasznos, egyenes és rendezett (vagyis nem "görbe" és "kusza"), stb... (Megjegyzem, hogy a duális fogalom, vagy a duálisa jelző nem csak erre a matematikai konstrukcióra és összefüggésre használatos. (Landau könyv 6. paragrafusa.))

Tehát nem a metrikus tenzor definiálja az alsóindexes vektorokat, tenzorokat, hanem a transzformációelmélet.
A metrikus tenzor (és fordítva az inverz metrikus tenzor) csak célszerűen kiválasztja az összetartozó párok tagjait.
A párok és ezek két elemének oda-vissza egyértelmű összerendelése a metrikus tenzor inverzitásából ered.

dgy írta:Eszerint mégsem működik a dolog a metrikus tenzor nélkül?

Na de egyáltalán nem mindegy, hogy valami alapjában definiál egy egész struktúrát, vagy a már meglévőn belül csak kiválaszt, összerendel. :)

És ebben az egész struktúrában az a nagyszerű, hogy így a sokaság feletti koordinátázás, azaz a differenciálható sokaság elemeinek azonosítása, megcímzésszerű "felcímkézése" a szomszédosságokon kívül már nem szab ki rá semmit, tehát "termékeny talaj" lehet bizonyos fizikai jelenségek leírására. Így a koordinátáktól (itt most egy pillanatra gondoljunk el egy szigorúan merev, derékszögű, (newtoni) koordináta-rendszeres struktúrát) a metrikus tenzor "vette" át a struktúra szerkezetét meghatározó szerepet. Ezzel lehetővé válik a metrikus tenzor bevonása bizonyos alapvető fizikai folyamatok (mint pl. (makro)mechanika, (makro)dinamika, és ami erre valamennyire visszavezethető) működésének leírásába. Hiszen maga a sokaság, ami egyben önmaga szerkezetét is kell némiképp adja egy kívánatosan zártnak feltételezett világban, nem más, mint az anyag valamilyen formája, amihez szintén tartozik valamilyen alapvető jellemző mennyiség (ez az energiaimpulzus-tenzor). Így az anyag energiaimpulzus-tenzora hasznosan kapcsolatba hozható a metrikus tenzorral, mégpedig azáltal, hogy kívánatosan alapvetőnek és természetesnek gondolunk bizonyos dolgokat. Ez a néhány dolog pl. az energia, impulzus és impulzusmomentum megmaradásának alapvető elfogadása. --> viewtopic.php?f=9&t=193&start=57
(Ez csak egy kis kitérő volt közben itt...)

dgy írta:r/ a felső indexes koordinátadifferenciál az adott pontbeli érintőtér eleme, vektor, de nem vektormező, ezért pl nem lehet kovariánsan deriválni (mint az idézett hamisított képletben)

Ismétlem, NEM koordinátadifferenciált írtam [Renderelés ... \xi^i] és [Renderelés ... \xi_i] helyére, hanem a koordináták infinitezimális variációját: [Renderelés ... \delta x^i]-t, és mivel ez vektor, ennek alsóindexes alternatíváját: [Renderelés ... \delta x_i]-t. Ezt kell megcáfolni, ha nem jó, nem pedig azt, amit nem követtem el... :!:

[Renderelés ... dx^i] (infinitezimális) vektor. Képzeljünk el egy vektormezőt, melynek értelmezési tartományában a négyestér elemeihez (pontjaihoz) valamilyen irányú [Renderelés ... dx^i]-ket rendelünk. Egy ilyen értelmes fizikai elképzelés lehet, ha pl. anyagi pontok elmozdulásának irányát jelentik ezek a [Renderelés ... dx^i] vektorok. Nem kell ezeket máshogyan jelölni, bár elsőre talán megtévesztő lehet, mert [Renderelés ... dx^i] láttán rögtön csak a koordináta rendszer jut az eszünkbe. A négyeselmozdulást jelentő [Renderelés ... dx^i] nagysága nem jöhet szóba, mert a négyestérben eleve nem az vezet a sebesség mérőszámához, hanem az iránya. A négyessebességet definiáló [Renderelés ... u^i = \frac{dx^i}{d\tau}], vagy [Renderelés ... u^i = \frac{dx^i}{ds}] kifejezések tulajdonképpen csak véges értékűre normálják a [Renderelés ... dx^i] vektort, mert a számításokhoz így lesz hasznos értékű. Az előbbi hossza így [Renderelés ... c], utóbbié (melyet a Landau könyv szeret) [Renderelés ... 1] (és utóbbi mértékegység nélküli, mert [távolság/távolság]). Semmi akadálya, hogy ezekből a [Renderelés ... dx^i]-kből álló már vektormezőt hagyományosan, vagy kovariánsan deriváljuk. Pl. szabad mozgás esetén mivel geodetikusok a világvonalak [Renderelés ... Ddx^i = 0], és hasonlóan [Renderelés ... Ddx_i = 0], ahol [Renderelés ... D] kovariáns differenciált jelent. Így a szabad mozgásra vonatkozó [Renderelés ... dx^i] és [Renderelés ... dx_i] (mint vektormező) kovariáns deriváltja is nulla.

dgy írta:t/ az alsó indexes [Renderelés ... dx_k] koordináta-differenciál létezik, de a [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség nem létezik;

Már fentebb leírtam, hogy nincs vele baj, de lássuk be másképp is mégegyszer:
dgy írta:A [Renderelés ... \xi_k] kovektormező létezik...

Tehát (ko)vektor.
Infinitezimálisan kicsi? Igen.
Variációból ered? Igen.
Akkor pedig éppen jó rá a [Renderelés ... \delta x_i] jelölés is, sőt még jobb.

dgy írta:v/ a variálás formai szabályai nem önkényesek, megegyeznek a differenciálás szabályaival;
w/ sehol sem szerepel olyan szabály, hogy bizonyos esetekben tetszésem szerint beilleszthetek egy minusz előjelet;
z/ ezért bizonyos képletek formai hasonlósága nem jelent tartalmi hasonlóságot.

Aki elolvassa a hozzászólásomat látja, hogy NEM "tetszésem szerinti" előjelváltásról van szó, hanem ugyanazon [Renderelés ... \delta S] variáció felírásáról. Amit tetszés szerint eldönthetünk, az az, hogy melyik azonos alakból képezzük a [Renderelés ... \delta S]-t előállító variáció koefficiensét. És látva az (anti)szimmetriát a (94,2) és (94,3) formulák között, valamint felismerve, hogy [Renderelés ... \xi^i] infinitezimális koordinátavariáció, egyértelműen adódik a két vázolt esetben, hogy hogyan lehet egyszerűen elvégezhető parciális deriválással megadni a helyes koefficienst a [Renderelés ... \delta g_{ik}] vagy [Renderelés ... \delta g^{ik}] variációhoz, mely ugyanazon hatásvariációhoz vezet.

dgy írta:Szándékosan adtam fel ezt, a korábbi példával ellentétes jellegű feladatot. Ha az ember tudja, mi függ a metrikától és mi nem, akkor mindkét feladat triviálisan megoldható. Ha nem tudja, akkor csak hosszas halandzsára telik, és a találat esélyét a "vak tyúk effektus" szabályai határozzák meg. Ez történt most is.

Egy vak tyúk vagyok, aki energiaimpulzus-tenzorokat számol ki. Ez jó! :D
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.09.04. 17:57-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.28. 20:11

Sehol sem írtam azt, hogy ξkaz egy dxk koordinátadifferenciál volna.

Sorry, ebben az egyben igazad van, ezt elnéztem. Bocsánat.

De attól még tény, hogy az "idézett" képlet az eredeti könyvben nem úgy nézett ki, ahogy "idézted". Furcsa elképzelések az idézésről és a tekintélyekre hivatkozásról.

És a többi állításom változatlanul igaz. A [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség nem variációja egy "alsó indexes koordinátának", a kovektor nem vektor, a kotangenstér metrikus tenzor nélkül is létezik (ahogy azt írtam is), de a [Renderelés ... dx_k] alsó indexes mennyiséget már a metrikus tenzor HOZZA LÉTRE (az objektum korábban is létezett, de nem volt SEMMI köze az [Renderelés ... x] koordinátához). Variálni nem úgy kell, ahogy "szeretnénk", bizonyos mennyiségeket állandónak tekintve, máskor meg nem, hanem ennek objektív szabályai vannak. Minusz előjeleket sem lehet egyszer-egyszer tetszésünk szerint becsempészni. Az egész ragaszkodásod egy apró, technikai lépésben elkövetett tévedés el nem ismeréséhez értelmetlen vagdalkozássá vált, és közben egy-egy újabb becsúszó ordas hiba megmutatja, mennyire nem vagy tisztában az alapfogalmakkal. Amikor erre felhívjuk a figyelmedet, nem vagy hajlandó megérteni.

A tudósok és tudományágak nagyképű lesajnálása csak hab a tortán.

Részemről befejeztem a témát.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: api » 2016.08.30. 15:59

Dgy:
Részemről befejeztem a témát.

Én azért remélem, nem magát a témát fejezted be, csak a szabikunak tartott kilátástalan különórákat.
Maga a relativisztikus hidrodinamika viszont annál termékenyebb, és érdekfeszítőbb, így nagyon várom a folytatást!
api
 
Hozzászólások: 1039
Csatlakozott: 2014.12.16. 18:05
Has thanked: 151 times
Been thanked: 264 times
Név: Albert Péter

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.08.30. 18:15

Én azért remélem, nem magát a témát fejezted be, csak a szabikunak tartott kilátástalan különórákat.
Maga a relativisztikus hidrodinamika viszont annál termékenyebb, és érdekfeszítőbb, így nagyon várom a folytatást!

Természetesen folytatom.

Csak most a tanévkezdés körüli rumlik miatt kevesebb időm van hosszabban koncentrálni egy témára. De nincs vége!

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Relativisztikus hidrodinamika

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.08.31. 12:58

Elfogadom, és köszönöm a bocsánat kérést.

dgy írta:De attól még tény, hogy az "idézett" képlet az eredeti könyvben nem úgy nézett ki, ahogy "idézted". Furcsa elképzelések az idézésről és a tekintélyekre hivatkozásról.

Igen, igaz, átírtam bennük a [Renderelés ... \xi]-ket [Renderelés ... \delta x]-ekre. Ez csupán jelölésváltás volt, semmi egyéb.

dgy írta:A [Renderelés ... \delta x_k] mennyiség nem variációja egy "alsó indexes koordinátának"

Így tartom én is, hiszen nincsenek alsóindexes koordináták.
[Renderelés ... \delta x_i]-t így kell érteni: [Renderelés ... (\delta x)_i]
Nem pedig így: [Renderelés ... \delta(x_i)]
Az előbbiben a zárójel viszont nyugodtan elhagyható, mert ez utóbbi úgyis értelmetlen, nem létezik.

dgy írta:...a kovektor nem vektor, a kotangenstér metrikus tenzor nélkül is létezik (ahogy azt írtam is), de a [Renderelés ... dx_k] alsó indexes mennyiséget már a metrikus tenzor HOZZA LÉTRE (az objektum korábban is létezett, de nem volt SEMMI köze az [Renderelés ... x] koordinátához).

(első aláhúzás:) Igen, én is ezt akartam mondani a transzformációelmélettel.
No de ha az a tér (vagy halmaz) létezik, akkor nyilván elemei is vannak.
(második aláhúzás:) Így ezek az elemek már létre vannak hozva a transzformációelmélet által.
És én úgy gondolom (veled ellenben), hogy a metrikus tenzor így már csak egyértelmű oda-vissza összerendelést (párokat) hoz létre mennyisége által a két tér (vagy halmaz) elemeiből.

Szerintem jó ez a szemlélet, de persze fordítva is megy a dolog:

Nincs semmilyen görbültség (kezdetben), van véges méretű többdimenziós "paralelepipedon", melynek megfelelő élei általános helyzetű, de még egyenes tengelyeket határoznak meg. Ebből adódik a (két duális, a) vektortér illetve kovektor-tér. Majd ezt az egész struktúrát leszorítjuk infinitezimális mérettartományra. A "paralelepipedon" így térfogatelem lesz, és vegyük észre, hogy ezzel egy új teret generáltunk, a metrikus tenzor pedig lehet minden pontban más-más értékű. A vektortér ily módon már infinitezimális elemei pedig egy koordinátázást adnak az új, és sokkal általánosabb, akár görbült tér (mint sokaság) felett. Ezután észre lehet venni, hogy a koordinátázásnak nincs semmilyen meghatározó szerepe a sokaság szerkezete felett. Nyugodtan át lehet térni más koordinátákra, és észre lehet venni az egészben a transzformációelméletet.

Ebből érezhető, hogy az ellenvéleményem itt csak más irányú szemlélet.

Az utóbbi aláhúzás azért nem teljesen igaz, inkább csak úgy kell érteni mint egy "egyszerű" első bekoordinátázást. A koordinátázás megváltoztatása pl. valamilyen koordinátatranszformációval, már azonban kényszerítheti a tényleges metrika, vagyis inkább jobban mondva a téridő-sokaság szerkezetének megváltozását is. Ugyanis a metrikus tenzor tetszőleges infinitezimális variációja a koordináták infinitezimális variációjából áll elő (az említett Landau II. (94,2) és (94,3) képletek szerint).


dgy írta:Variálni nem úgy kell, ahogy "szeretnénk", bizonyos mennyiségeket állandónak tekintve, máskor meg nem, hanem ennek objektív szabályai vannak.

A variálás matematikai szabályából adódik, hogy mikor mit kell, állandónak tekinteni. Viszont, hogy mikor mit tekintünk szabadnak, azaz a variálás szemszögéből adottnak, és ezért nem variáljuk, az más kérdés. Lentebb be is mutatom, hogy ez a célunktól is függ. A variálás első lépésben egyszerűen fittyet hány arra, hogy milyen matematikai konstrukciója van, amiben alkalmazzuk. Egyszerűen a differenciálképzés szabályát követjük benne, és közben figyelünk arra, hogy az eredetileg különálló tagoknál, az adódó koefficiensek azonos variációhoz vezessenek, ne pedig az ellentetthez. Valamint nyilván a keletkező tagokban a mennyiségeket, már nem lehet akárhogy és különféleképpen átírni alternatív alakokra, mert azzal elronthatjuk a már követett szabályt (ezt most nem példázom, de könnyen észrevehető...).

Összeget tagonként variálunk, mint ahogy az összeg differenciálját is az egyes tagok differenciáljainak összege adja:

[Renderelés ... d(a+b+c) = da+db+dc]. Tehát:

[Renderelés ... \delta(a+b+c) = \delta a + \delta b + \delta c].

Szorzatban álló mennyiségek egymástól függetlenül variálandók, mert szorzat differenciálját is tényezőnként külön képezzük, majd ezeket összegezünk:

[Renderelés ... d(abc) = bc\,da + ac\,db + ab\,dc]. Tehát:

[Renderelés ... \delta(abc) = bc\,\delta a + ac\,\delta b + ab\,\delta c].

(A hasonlóság szinte teljes, de a variáció mégis annyiban más, hogy az tetszőleges, azaz minden lehetőséget felölel, és bizonyos követelésekkel állítjuk majd szembe a variációs egyenleteinket. Még a differenciált valamilyen okból adódónak tekintjük már eleve, és ennek megfelelően dolgozunk vele...)

Ebbe idáig még nem szólt bele, hogy [Renderelés ... a], [Renderelés ... b], és [Renderelés ... c] milyen kapcsolatban vannak egymással. Viszont az ezután következő lépések, és az egész variáció trükkös matematikai felhasználása nagyon szép összefüggések felállítására alkalmas.

(Érdekes, hogy például egy komplex mennyiség és konjugáltja egymással elég meghatározó kapcsolatban vannak, mégis "általános koordinátákként" a variálás során egymástól függetlennek kell tekinteni ezeket. (Landau III. 77. oldal (20,1) és az utána levő számozatlan képletek, Landau IV. 55. oldalon (10,9)-ből (10,12), 71. oldalon (14,5).)
(Persze ez csak egy hasonló dolog a szabadnak, nem szabadnak tekintett vitatott mennyiségek miértjéhez...))

Visszatérve: Ha mondjuk [Renderelés ... b] és [Renderelés ... c] szerint nem szeretnénk variálni, mert pl. azokat adottnak tekintjük, akkor a középső és utolsó tag egyszerűen elhagyandó. Ekkor mondunk olyat, hogy a baloldalon álló valami [Renderelés ... a] szerinti variációja. Erre jó példa az idáig sokat gyötört távolságnégyzet metrikus tenzor szerinti variációja:

[Renderelés ... \delta ds^2 = \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik}]. Ami így nem teljes.

[Renderelés ... dx^i] és [Renderelés ... dx^k] pl. azért adottak, mert most nem a pályát szeretnénk variálni, hanem a tér szerkezetét.
Nagyon fontos ezzel kapcsolatban a következő meggondolás:
A [Renderelés ... q] "általános koordináták" az [Renderelés ... S] hatású (egész világ) rendszert meghatározó mennyiségek, melyen (és most idézek a Landau könyvből a 351. oldalról:) "Koordinátatranszformációt végezve, [Renderelés ... q] mennyiségek [Renderelés ... \delta q]-val változnak. [Renderelés ... \delta S] kiszámításánál azonban el lehet hagyni a [Renderelés ... q] megváltozásával kapcsolatos tagokat. Ezek a tagok az anyagi rendszer mozgásegyenletei miatt kölcsönösen kiejtik egymást, hiszen ezeket a mozgásegyenleteket éppen azzal definiáltuk, hogy [Renderelés ... S]-nek [Renderelés ... q] szerinti variációja nulla legyen. Ezért elegendő a [Renderelés ... g_{ik}] megváltozásának megfelelő tagokat leírni."

Ilyen pl. Marx György fent idézett cikkének 2. paragrafusa. (Az ebben elkövetett problémákra is nemsokára részletesen rátérek...)

Ha azonban a legkisebb hatás variációs elve alapján pl. a négyestérbeli szabad mozgás lehetséges pályavonalaira (geodetikusok) keresünk összefüggést, akkor az előbb még adottnak vett [Renderelés ... dx^i] lehetséges pályát jelentő mennyiségeket is variáljuk. A követelés az, hogy [Renderelés ... \int_a^b{ds}] szélsőértéket vegyen fel, azaz:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds} = 0].

(utólagos NOTE: Itt most nem részleteztem azokat a meggondolásokat, hogy a [Renderelés ... ds] négyestér intervallum lehet térszerű, időszerű, fényszerű, és a szignatúrától függően is valós, vagy képzetes. Szigorúan véve a legkisebb hatás elvében ezek alapján is kell igazítani az [Renderelés ... S] hatás mennyiségéhez az egyenletet, de a lényegen, hogy variációs módszerrel a stacionárius (azaz geodetikus) vonalakra keresünk valamilyen összefüggést, ez nem változtat. Ezért kifejezetten a variációs elv kalkulációs menetére koncentrálva kerülöm most az [Renderelés ... S] jelölést, és így csak olyan általános követelést jelent az utóbbi egyenlet, mely az összes stacionárius vonalra érvényes.)

Induljunk ki [Renderelés ... ds^2] variációjából: [Renderelés ... \delta ds^2 = 2ds\delta ds], amiből: [Renderelés ... \delta ds = \frac{\delta ds^2}{2ds}].

Ezt felhasználva egyenletünk a következő alakba írható: [Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{\delta ds^2}{2ds}}].

Nyugodtan egyszerűsíthetünk [Renderelés ... ds]-el, mert semmi szükség rá, de az [Renderelés ... \frac{1}{2}]-et tartsuk meg:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{1}{2}\delta ds^2}].

(utólagos NOTE: Ez az egyszerűsítés nem azt jelenti, hogy [Renderelés ... \frac{1}{ds}] kiemelhető az integráljel elé, és [Renderelés ... ds]-el beszorozva tűnik el. (Bár így is majdnem elképzelhető volna, mert a (variált) pálya mentén egyforma (és természetesen nem nulla) [Renderelés ... ds]-eket elgondolva az szinte mindegy, hogy az integráljel melyik felén van...) Egyszerűen belátjuk, hogy az integrál csak akkor tűnik el tetszőleges pálya esetén, ha annak minden részén maga a [Renderelés ... \delta ds^2] variáció nulla. Tehát a követelést egyszerűen ez is adja. Így ezt a variációt átalakítva, azaz más mennyiség variációjával felírva (melyek célszerűen a koordináták lesznek), annak koefficiense nulla kell, hogy legyen, és végül ez adja a keresett összefüggést.)

(utólagos NOTE 2.verzió: Nem igazán jó, hogy [Renderelés ... \frac{1}{ds}] akár egy lépésre is bekerült a képletbe, pontosabban, hogy osztunk vele, hiszen (amit az előbb rosszul gondoltam) az is lehet, hogy az nulla, ami éppen a fényszerű pályák esetében van. Más meggondolást követünk, térjünk vissza a kiinduláshoz, és vizsgáljuk meg részletesebben, hogy mit is csinálunk tulajdonképpen a variáció felírásával:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds} = 0].

Szavakban: Az integrál variációja, nem más, mint a variációk integrálja. Az előbbinél a és b rögzített végpontok között különböző vonalakon képezzük előbb az integrált, majd utána az infinitezimálisan közeliek különbségét vesszük:

[Renderelés ... \delta\int_a^b{ds} = \int_a^b{(ds+\delta ds)} - \int_a^b{ds} = \int_a^b{\delta ds}]

Az egyenlőségjel után pedig fordítva. Az integrál egy végtelen összegezés, és mivel összeget tagonként variálunk, így ezt is. Tehát minden a és b rögzített végpontok közötti különböző vonalakon kiintegráljuk az infinitezimális szakaszainak összeillő variációit, azaz [Renderelés ... ds+\delta ds]-ek helyett, csak [Renderelés ... \delta ds]-eket. Vegyük észre, hogy a variációképzéssel (mindkét felfogásból érezhetően) kivonódott az integrálelem. Az első felfogásnál annak teljes integrálja egyben, a második felfogásban pedig külön az egyes tagokból, hiszen annak csak a variációi szerepelnek helyette. Persze az integrálás így is végigmegy az [Renderelés ... s] vonalon, csak az eltűnt [Renderelés ... ds] helyett, most, valami más hasonló vette át az integrálelem szerepét, ami [Renderelés ... \delta ds]-en belül van. Ha beszorozzuk az egyenletet az elvesztett [Renderelés ... ds] vonalelem hosszal, és az(oka)t egyforma hosszú(ak)nak, azaz konstansnak vesszük, akkor bevihető az integráljel alá, és ott újra tekinthető integrálelemnek. Ezzel így egy másik egyenlet lett, de könnyen belátható, hogy az így nyert kifejezés is ugyan azokat a stacionárius vonalakat fogja adni. [Renderelés ... ds \neq 0] esetén, ha a korábbi egyenlet nem volt nulla, ez sem lesz az. Ha nulla volt, akkor ez is az lesz, tehát a stacionárius vonalakra ezzel az átalakított egyenlettel is megtaláljuk a keresett összefüggést. Legfeljebb [Renderelés ... ds = 0] esetében kellenének újabb meggondolások, de szorozni akkor is lehet vele, osztani viszont nem.
Tehát az "új" egyenlet most így néz ki:

[Renderelés ... ds\int_a^b{\delta ds} = \int_a^b{ds\delta ds} = 0].

És mivel [Renderelés ... ds\delta ds = \frac{1}{2}\delta ds^2], ezt behelyettesítve az integrálelem csupán bekerül a [Renderelés ... \delta ds^2] kifejezésbe, amit majd elkezdünk szépen alakítgatni a továbbiak szerint. Ezzel elkerültük a [Renderelés ... \delta\sqrt{g_{ik} dx^i dx^k}] gyökös alakot, és a [Renderelés ... ds = 0] sem okoz fennakadást.)


[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\frac{1}{2}\delta(g_{ik} dx^i dx^k)}].

Most teljes variációra lesz szükség (ahogy előbb írtam):

[Renderelés ... \delta(g_{ik} dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}\delta(dx^i dx^k) = dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}dx^i \delta dx^k + g_{ik}dx^k \delta dx^i]

[Renderelés ... = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 2g_{ik}dx^i \delta dx^k = dx^i dx^k \delta g_{ik} + 2g_{ik}dx^i d\delta x^k].

Utolsó lépésként felhasználtuk, hogy [Renderelés ... \delta dx^k = d\delta x^k], vagyis, hogy a koordináták differenciáljának infinitezimális variációja azonos a koordináták infinitezimális variációjának differenciáljával. Ez közvetlen adódik abból, hogy [Renderelés ... \delta x^k] éppen olyan vektormennyiség, mint [Renderelés ... dx^k], és fordítva. Ez másodrendben az utoljára felhasznált összefüggést adja. (Ez alsóindexes vektorokra is természetesen igaz.) Ez nagyon lényeges pontja az egész számításnak, hiszen ebből kifolyólag válnak a legkisebb hatás követelése alatt a szabad mozgás lehetséges pályái meghatározhatóvá valamilyen egyenlet formájában.

A kapott variációt behelyettesítve az integrálba:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \delta g_{ik} + g_{ik}dx^i d\delta x^k \right)}].

Ne ijedjünk meg, hogy hirtelen már nem látjuk a kezdetben még meglévő [Renderelés ... ds] integrálási elemet, hiszen éppen azt variáltuk, és alakítottuk át. A variációkat egy mennyiség variációjára kell visszavezetni, hogy azt kiemelhessük a két tagból, ugyanis pont ez a technikai lényeg, hogy így jutunk eredményként majd egy egyenlethez.

Az első tagnál egyszerűen járunk el, [Renderelés ... \delta g_{ik}]-t parciális deriválással írjuk fel: [Renderelés ... \delta g_{ik} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l].

A második tagot a [Renderelés ... valami2\,d\,valami1 = d(valami1\,valami2) - valami1\,d\,valami2] alapján tudjuk hasznosan átalakítani. A [Renderelés ... d(valami1\,valami2) = d(g_{ik}dx^i \delta x^k)] teljes differenciál az integrálásból eltűnik, hiszen a határokon a variáció nulla, így marad: [Renderelés ... -valami1\,d\,valami2 = -d(g_{ik}dx^i)\delta x^k]. (Parciális integrálás.)

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l - d(g_{ik}dx^i) \delta x^k \right)} = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l - dx^i dg_{ik} \delta x^k - g_{ik}ddx^i \delta x^k \right)}].

Harmadik és negyedik tagban k -> l összegezőindex jelöléscserét végrehajtva, és [Renderelés ... \delta x^l]-t kiemelve mindhárom tagból:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - dx^i dg_{il} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}].

A középső tagban [Renderelés ... dg_{il}]-t [Renderelés ... \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k}dx^k] alakra átírva azt egészen hasonlóvá tesszük az elsőhöz:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - dx^i dx^k \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}].

Majd felhasználva, hogy i és k indexeiben szimmetrikus, két tagra bontjuk:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left(\frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - \frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{1}{2} dx^i dx^k \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} - g_{il}ddx^i \right) \delta x^l}]. Kiemeljük [Renderelés ... \frac{1}{2} dx^i dx^k]-t:

[Renderelés ... 0 = \int_a^b{\left[\frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\right) dx^i dx^k - g_{il}ddx^i \right] \delta x^l}]. Amely integrál tetszőleges [Renderelés ... \delta x^l] variációkra csak akkor tűnik el,

ha a szögletes zárójelben lévő rész nullával egyenlő:

[Renderelés ... g_{il}ddx^i + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\right) dx^i dx^k = 0]. A második tagban [Renderelés ... dx^i dx^k] előtt álló kifejezésre

bevezetve a Christoffel-féle szimbólumokat:

[Renderelés ... g_{il}ddx^i + \Gamma_{lik} dx^i dx^k = 0]. És indexfelhúzással:

[Renderelés ... g^{ml}g_{il}ddx^i + g^{ml}\Gamma_{lik} dx^i dx^k = 0],

[Renderelés ... \delta^m_i ddx^i + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0]. A konstans [Renderelés ... \delta^m_i] már akár be is vihető a sima differenciáljel alá:

[Renderelés ... d\delta^m_i dx^i + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0],

[Renderelés ... ddx^m + {\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = 0]. Ezzel készen is vagyunk. :mrgreen: Ez nem más, mint a kovariáns differenciál,

miszerint [Renderelés ... Ddx^m = 0].

Ez az egyenlet infinitezimálisan megadja a téridő minden egyes pontjában a [Renderelés ... dx^m] irányhoz tartozó egyetlen geodetikus további menetét. [Renderelés ... dx^m]-nek önmagában nincs hossza, és még infinitezimális is. Csak négyesirányt határoz meg, valamint a [Renderelés ... \frac{dx^m}{ds} = u^m] négyessebességet, mely csak nyugalmi tömeggel rendelkező anyag esetén értelmezhető. Ezekre csak az időszerű geodetikus vonalak a lehetséges pályák.

[Renderelés ... ddx^m = -{\Gamma^m}_{ik} dx^i dx^k = \delta dx^m]. Ahol most [Renderelés ... \delta dx^m] a konnexiót jelenti.

_________________________________________________

Sajnálom, ha bántok valakit a hozzászólásaimmal. Én a lehető legnagyobb igyekezetemmel a megértés pártján vagyok, és nem célom a vagdalkozás. Viszont a kérdéses dolgokat érdemes és hasznos megvitatni. Ha hibázok, belátom. De ha úgy vélem, hogy mégsem, akkor hát megpróbálom jobban elmondani miért nem, és számításokkal, könyvekkel (Landau, Novobátzky, stb..) is alátámasztani elképzeléseimet, amik így nem csak az enyémek.
A hozzászólást 4 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.09.13. 00:24-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

ElőzőKövetkező

Vissza: Zárt osztály

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 2 vendég

cron