Oligopol piacok

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2015.02.05. 22:21

oligopol.jpg


Én a következő jelölésrendszert használom:
N: összes szereplő száma a piacon. Ezek oszlanak el egyenletesen a [90,100] intervallumban.
100+E, (E1, E2): a bank (bankok) eladási árfolyamai
100-V, (V1, V2): a bank (bankok) vételi árfolyamai. De ezekkel nem számolok, mert az eladási oldal tükörképe.

Monopol eset, az eladási oldalon:
[Renderelés ... P=N*\frac{10-E}{20}*E=\frac{N}{20}*E*(10-E)]
Kis magyarázat: ugyebár az fog venni a banktól, akinek az értékelése 100+E fölött van. Ezek N*(10-E)/20-an vannak, mert a teljes (20 széles) tartományban N darab szereplő van, ebből az [E,10] (vagy pontosabban a [100+E,100+10]) tartományba ennek az arányos része esik, az egyenletes eloszlás miatt. Tehát a vásárlók darabszáma N*(10-E)/20. Ezek mindegyikén keres E-t a bank, tehát ezt meg kell szorozni a darabszámmal, és az a profit az eladási oldalon.
Vételi oldal ugyanez, V-vel.

Ugyebár az a feladat az a) részben, hogy maximalizáljuk a monopólium profitját. Ez egy nagyon egyszerű szélsőérték feladat, keressük azt az E-t, ahol ez maximális.
Ez egy lefelé nyíló parabola, maximuma (a parabola csúcspontja) E=5-nél van. Ekkor a profit: [Renderelés ... P=25*\frac{N}{20}=\frac{5}{4}N]
Vételi oldalon ugyanez, így a teljes maximális profit: E=105, V=95-nél van, és ott a profit 5N/2.

Most akkor a b) rész. Az ábra ehhez készült.
Úgy rajzoltam, hogy az E2>=E1. Ez nem megy az általánosság rovására, a szimmetria miatt.
Mennyi az 1-es számú bank profitja (az eladási oldalon)?
[Renderelés ... P_1=N*\frac{E_2-E_1}{20}*E_1+\int_{E_2}^{10}N*\frac{dx}{20}*\frac{x-E_1}{2x-E_1-E_2}*E_1]
Kis magyarázat: van egy tartomány, az [E1,E2], ahol a szereplők kizárólag csak az 1-es banktól vesznek. Ezek száma N*(E2-E1)/20. Ezek mindegyikén E1-et keres az 1-es bank, ezért szorzunk E1-gyel.
Plusz a maradék tartomány, az [E2,10], azok mindkét banktól vesznek, különböző arányokban. Veszek egy x számot E2 és 10 között, és veszek ott egy nagyon-nagyon keskeny dx széles sávot. Ebben a sávban hányan tartózkodnak? N*dx/20 ugyebár. Ezek milyen arányban vesznek a bankoktól? (x-E1):(x-E2) arányban, ugyebár. Tehát az 1-es banktól az N*dx/20 szereplő mindegyike vesz [Renderelés ... \frac{x-E_1}{2x-E_1-E_2}] mennyiséget, és ezeken a bank E1 profitot zsebel. A teljes E2 fölötti tartomány profitját úgy számolhatom ki, hogy integrálok x szerint, ahol x fut E2-től 10-ig.

2. bank profitja?
[Renderelés ... P_2=\int_{E_2}^{10}N*\frac{dx}{20}*\frac{x-E_2}{2x-E_1-E_2}*E_2]
Ugyanez a duma. Az E2 fölötti rész vesz kizárólag a 2-es banktól, de azok sem teljes mennyiségben, mert megosztják a vásárlásaikat. Integrálok tehát E2-től 10-ig, ahol minden x-re (és a dx széles tartományra) tudom, hogy ott egyrészt N*dx/20 darab vásárló van, másrészt mindegyik [Renderelés ... \frac{x-E_2}{2x-E_1-E_2}] mennyiséget vesz, és ezeken a profit E2.

Az integrálást elvégezve:
[Renderelés ... P_1=\frac{N}{20}E_1\left [ E_2-E_1+\frac{10-E_2}{2}+\frac{E_2-E_1}{4}[ln(20-E_1-E_2)-ln(E_2-E_1)] \right ]]
[Renderelés ... P_2=\frac{N}{20}E_2\left [\frac{10-E_2}{2}-\frac{E_2-E_1}{4}[ln(20-E_1-E_2)-ln(E_2-E_1)] \right ]]

Természetesen csak abban az esetben, ha E2>E1. Különben fordul. Na, ezek az egyes profitok, és ezeket kell maximálizálni E1 vagy E2 -mint paraméter- ismeretében.
Kicsit lehet még ezeket pofozni, rendezni, összevonni, de nem sokat. Túlságosan szép nem lesz...

Tehát ezekkel lehet gondolkozni, ezeket lehet leprogramozni, vagy analitikus megoldásokkal próbálkozni.
Tehát, lehet E1 (mint paraméter) rögzítésével lehet keresni azt az E2-t, ami a maximális P2 profitot hozza. Csak itt vigyázni kell!!!!: Két oldalon lehet az E2: E1 fölött, és alatt. És másként néz ki a P2 képlet az egyes esetekben... Itt van egy szimmetriasértés. Ez aztán be is hoz a feladatba egy csúnyaságot...
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2339
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 249 times
Been thanked: 434 times

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: dgy » 2015.02.06. 16:16

Idegfúzió:
Normális képletet nem bírok felírni a problémára, úgyhogy továbbra is iterációval, egy tizedessel most azt mondom, hogy 102,2 és 103,0 között oszcillálnak a bankok eladási árfolyamai. Például: bank1 105,0 esetén bank2 103,6 árfolyammal maximalizálja a profitját, erre bank1 102,9-re áll át stb. tehát ezek a lépések:
bank1 105,0 --> bank2 103,6 --> bank1 102,9 --> bank2 --> 102,5 --> bank1 102,3 --> bank2 103,0 --> bank1 102,6 --> bank2 102,4 --> bank1 102,2 --> bank2 103,0 és bezárult a kör.

Bingó! Erről szólt a feladat! Ez volt az, ami engem (és még sok más hallgatót is) annyira szíven ütött, amikor Bihary ismertette a megoldást.

A probléma lényege az, hogy (a b/ résznek) NINCS stacionárius megoldása! Nem lehet kialakítani (a profitfüggvény maximumának keresésével, szolid parciális deriválásokkal) egy optimális megoldást, árajánlatot. Az optimum ugyanis függ a másik fél viselkedésétől, és mindig megéri neki aláigérni. A másiknak meg viszont. Egészen egy kritikus értékig, amikor ugranak az árak, és kezdődik előlről a dolog. A két fél egymást kergetve ciklusba esik, és a ciklusból nincs kiszállás, mert akkor rosszul járunk - mindig egyértelmű, hogy merre kell lépni, de a dolog nem konvergens...

Ez a viselkedés valóságos piaci viszonyok között is megfigyelhető, persze a részletek sokkal bonyolultabbak.

Több dolgok vannak földön és egen, Horatio... már egy ilyen egyszerű, nem teljesen realisztikus modellben is, mint amit bölcselmünk képzelni képes.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: Nullstejn » 2015.02.06. 21:03

Köszönöm SanyiLaci levezetését!

...azért maradnak még kérdések:

1. Vizsgálható, hogy lehet maximálni az összprofitot (amennyiben a két bank közös tulajdonossal rendelkezik, ez az érdek). Nálam ez V1=93.3, V2=95.73 körül van (V1, V2 a bankok vételije). Ekkor is mindkettőnek van eltérő, de pozitív profitja.

2. Ahogy SanyiLaci írta, van egyfajta csendes vagy izgágább együttműködés a nagyok között. Apróbb "vétkek" megbocsáthatók. Ha az egyik fél nagyon "g..." (itt most a ma délután a médiába jutott egyik pénzemberünk jelzőjére gondolok, mely humán gaméták egyénenként eltérő, de cca. 1-3 cm3 volumenű milliós csoportjának és befoglaló közegüknek együttes neve), akkor azt a többi piaci árképző kicsinálja.

3. Csak érdekesség inkább, mint realitás, de hogyan befolyásolja a másik staratégiáját, ha az egyik elkezd 100-ra nem szimmetrikus árakat közölni? (Nálam aszimmetrizál). Lehet-e az 1.-ben említett összprofit még nagyobb ilyen estben? (NEM)
Nullstejn
 
Hozzászólások: 83
Csatlakozott: 2014.07.05. 10:32
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 10 times
Been thanked: 17 times
Név: Borszéki György

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2015.02.07. 18:42

Egyszerűsítsünk egy kicsit a jelöléseket. Jelöljük E2-t y-nal, E1-et x-szel.
Ekkor, y>x esetben a 2. bank profitja:
[Renderelés ... P_2=\frac{N}{80}\left [ 20y-2y^2-y(y-x)[ln(20-x-y)-ln(y-x)] \right ]]
y=x esetben a logaritmusos tag kiesik:
[Renderelés ... P_2=\frac{N}{80}\left [ 20y-2y^2 \right ]]
y<x esetben pedig:
[Renderelés ... P_2=\frac{N}{80}\left [ 20y+2y(x-2y)-y(y-x)[ln(20-x-y)-ln(x-y)] \right ]]

A szép az, hogy ezt a 3 esetet egyetlen zárt képletben le lehet írni:
[Renderelés ... P_2=\frac{N}{80}\left [ 20y+2y(max(x,y)-2y)-y(y-x)[ln(20-x-y)-ln(abs(y-x))] \right ]]

Ha találnék egy jó 3D függvényábrázoló programot, akkor a teljes [0,10] intervallumra be lehetne neki adni ezt a képletet, és lerajzolná. Nos, találtam is:
http://www.flashandmath.com/mathlets/mu ... white.html
Be lehet írni, az értelmezési tartományt tetszőlegesen lehet szűkíteni, ezáltal ki lehet nagyítani egy-egy részletet. Érdemes a gridet a maximális 40-re felvenni. Lehet forgatni, megnézni minden szögből, jó kis program. :)
Ezt a stringet kell neki beadni: 20*y+2*y*(max(x,y)-2*y)-y*(y-x)*(ln(20-x-y)-ln(abs(y-x)))
Így néz ki:
oligopol_graph.jpg


Az y=x mentén a fehér tartomány az, ahol nem tudja lekezelni a 0-val való osztást és szorzást. De kinagyítva (értelmezési tartományt szűkítve) ez a fehér folt is tetszőlegesen kicsire vehető.
Kinagyítva (megadva x-nek a (2,2-2,5) intervallumot, y-nak meg mondjuk a (2,3)-at jól látható, hogy mi okozza azt, hogy nincs egyensúly. A kritikus tartományban az y=x mentén egy kis árok található, mindkét part magasabb nála. Az egyik oldal az "alámegyek árban", a másik oldal a "fölémegyek árban". Ezt az árkot ugorja át a profitmaximalizáló viselkedés (átugrik az "árat emel oldalra"), és kezdődik a ciklus elölről.

Ez természetesen csak az eladási oldal, de a vételi oldal ennek teljesen analóg tükörképe.
Iparági összprofitot is lehet ábrázolni, és keresni annak a maximumát...
Üdv,
Sanyilaci
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2339
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 249 times
Been thanked: 434 times

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: Idegfúzió » 2015.02.11. 17:53

Sanyi_Laci gratulálok és nagyon köszönöm a szuper megoldást!

Elgondolkodtam, hogy hogyan lehetne látványosabbá tenni az oszcillálás okát. Az alábbi ábrákat sikerült összekalapálnom, megosztom.
oli.jpg
oli.jpg (116.05 KiB) Megtekintve 2482 alkalommal.

Bal felső: első bank profitja a két bank árképzésének függvényében (árfolyamok eltérése 100-tól az x és y tengelyen, profit a függőleges z tengelyen). Az első bank az x tengely mentén tudja változtatni az árfolyamot, ezzel maximalizálja a profitját. xmin=ymin=0, xmax=ymax=6, tehát a (100,106) intervallumon látjuk az árfolyamokat és a hozzájuk tartozó profitokat.
Jobb felső: második bank profitja, ő az y tengely mentén mozogva próbálja maximalizálni a profitot.
Alsó ábra: a kettő összerakva (egész pontosan mindenhol csak a nagyobb érték ábrázolva) és a bankok árfolyamváltoztatásai jelölve nyilakkal. Egyes bank piros nyilak mentén változtatja az árfolyamot, mire a második bank reakciója zöld nyíllal jelölve. Ha megnézzük valamelyik nyílhegyet az ábra tetejénél mondjuk, akkor oda kell képzelni a másik függvény értékét, ami a másik bank profitját mutatja - ez jóval kisebb lesz az ábrán látható értéknél. Ezért tehát a másik bank is változtat és felmegy a következő nyílhegyhez. Egy darabig így mennek lefelé "az x=y árok két partján ugrálva", mindig egymás alá licitálva. Egyszer csak eljön a pillanat, hogy nem éri meg átugrani az árkot, hanem áremeléssel lehet növelni a profitot (alul piros nyíl).
Idegfúzió
 
Hozzászólások: 136
Csatlakozott: 2015.01.07. 22:43
Has thanked: 17 times
Been thanked: 7 times

Re: Oligopol piacok

HozzászólásSzerző: G.Á » 2019.06.10. 17:08

Felteszem ide a feladat megoldásának első, bár inkább nulladik verzióját.
Hozzá nem értés miatt a közgazdasági fogalmaknál nevezéktani és egyéb bizonytalanságok állnak fenn, ennek figyelembevételével érdemes átfutni.

Továbbá a kialakuló ciklusok nálam nem egészen olyanok mint Idegfúzió ábráján.
https://www.docdroid.net/mkGmev7/om201433.pdf
G.Á
 
Hozzászólások: 1080
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 293 times

Előző

Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 2 vendég