Matematikafilozófia

[Banzai]

Szóval, egy fikarcnyi specrel támaszja alá mindössze az eleve elrendeltetést, a tömbuniverzumot, minden más pedig nem. Én a magam részéről úgy teszek, mintha lenne a döntéseimnek súlya.

Én valahogy úgy képzelem, hogy azért nincs szabad akarat, mert absz. nincs jelentősége az Univerzum szempontjából. Vagyis a súlya nem különbözik lényegében egy kvantumfizikai határozatlanságtól, az Univerzum élete és fejlődését tekintve teljesen jelentéktelen. A káosz egy felfoghatatlanul apró része, amelynek lényegi értéke tulajdonképpen egyenlő a nullával. Bármilyen döntést is hozol bármikor az életed során, annak semmi jelentősége sincs fizikai szempontból.

[Banzai]

Megy egy egész jó kis matematika tudomány-történeti sorozat a spektrumon, ma lesz a 4. rész, sok érdekesség van benne, helyszínekkel, stb.

20:55 - Matematika: a tudományok tudománya (The Story Of Maths)

A sorozatban Marcus du Sautoy az Oxfordi Egyetem matematika professzora kalauzolja végig a nézőket az egyik legfontosabb tudományág történetén. Utazása során különböző korokban és a világ különböző részein mutatja be a nézőknek a matematika alap tételeit és rávilágít, hogy hogyan támasztja alá a matematika a világunkat összetartó tudományt, technológiát és kultúrát. A sorozat a következő négy részből áll: A világegyetem nyelve, A kelet géniusza, A tér határai és A végtelen és azon is túl. Du Sautoy professzor bemutatja a matematika fejlődését és olyan témákat is érint, mint a nulla bevezetése vagy a még bizonyítatlan Riemann hipotézis, mely 150 éve foglalkoztatja a tudósokat.

[api]

Lee Smolin legújabb ismeretterjesztő könyve, ami nemrég jelent meg magyarul az "Idő újjászületése" címmel, több szálon is kapcsolódik azokhoz a kérdésekhez, amiket itt feszegetett Banzai és Sanyi_Laci.
A fizikai lenyűgözően sikeres matematizálása alapján sokáig én is hajlamos voltam hinni, hogy a finomítások végén egyetlen ellentmondásmentes lehetőségként rejtőzik valami végső, időtlenül állandó törvény. Ugyan nem valószínű, hogy ide el tudnánk jutni, de mégis gondolhatjuk, hogy a világ mozgatója pusztán a logikai szükségszerűség. Amit Einstein úgy mondott: "Istennek nem volt választási lehetősége." Még szélsőségesebben: a világ matematikából áll.
Smolin segít kigyógyulni az ilyen ábrándokból, sőt sokkal érdekesebb lehetőségeket vet fel. Érdemes elolvasnotok. Ráadásul azt ígéri, hogy ez csak egy szigorú okfejtéssel dolgozó majdani könyv egyszerűsített bevezetése.

[Banzai]

Smolinnak vannak néha igen meredek elméletei, lásd. pl univerzumok evolúciója, de ez az okfejtés miszerint az idő a mindenek felett álló szervező, ami által létrejöhet akár a törvények evolúciója, azért sok kérdést nyitva hagy. Amíg nem képes kezelni ebben a levezetében a "meta-törvény dilemmát" addig szerintem gyenge lábakon áll ez az elmélet.

A fizikai lenyűgözően sikeres matematizálása alapján sokáig én is hajlamos voltam hinni, hogy a finomítások végén egyetlen ellentmondásmentes lehetőségként rejtőzik valami végső, időtlenül állandó törvény. Ugyan nem valószínű, hogy ide el tudnánk jutni, de mégis gondolhatjuk, hogy a világ mozgatója pusztán a logikai szükségszerűség. Amit Einstein úgy mondott: "Istennek nem volt választási lehetősége." Még szélsőségesebben: a világ matematikából áll. Smolin segít kigyógyulni az ilyen ábrándokból, sőt sokkal érdekesebb lehetőségeket vet fel.

Igazából nem tudom miért zárná ki ez, egy időtlenül állandó törvény létezését. Ilyen szempontból egy matematikai konstrukció is tekinthető időtlenül állandó törvénynek, pont ezt feszegettük korábban, hogy mi adhat 'testet' egy ilyen konstrukciónak? Az energia, az idő, vagy esetleg az emberi szellem? Mi az a szubsztancia ami által vagy ami mentén a matematika fizikává változhat. Képesek lehetünk-e egyszer létrehozni saját magunk által definiált matematikai konstrukción alapuló törvények alapján működő tereket, ahol az abban létezők, a mi matematikánk szerint működhetnek. (Ez messze nem azonos a szimulált univerzumokkal) Saját fizikai világunk matematikai alapjai milyen konstrukción nyugszanak? Ezt mi hozta létre, a természet kaotizmusa, vagy esetleg más?

[api]

Félreérted. Se Smolin, se én nem képzeljük, hogy kizárhatnánk az időtlenül létező törvények lehetőségét.
Csak érdemes elgondolkodni rajta, hogy jó stratégia-e valami örök végső elméletet hajkurászni? Különösen így húsz évvel az utolsó szuperhúrelméleti forradalom után, amikor ez a "mindenség elmélete" még mindig 10^500 különböző potenciális elméletet jelent, amelyeket még csak nem is tudunk az áltrel alapelvével összeegyeztethető módon háttérfüggetlenül kezelni?
Smolin gondolatmenetei ebben a formájukban persze még csak halvány próbálkozások, de nem hiszem, hogy a meta-elmélet dilemma jelentené a fő gondot.
Szerintem a gyakorlatban nem célszerű túlzásba vinni ezeket a meta-meta-metákat. Van nekem erre egy tapasztalatom, érdekességként elmondom, ha már matematikafilozófia a topik címe. A XX.sz. elején a halmazelmélet paradoxonjai következtében Russel és Whitehead szükségesnek látta az egész matematikát visszavezetni a logikára. 3 kötetes "Principia Mathematica"-juk valószínűleg minden idők legmonumentálisabb metamatematikája. Ezer valahány-száz oldal tiszta formális levezetés során jutnak el megszámlálhatóan végtelen halmazokig, a természetes számokig és az alapvető aritmetikai műveletekig, közben úgy húsz oldalanként olvasható egy-egy mondat emberi nyelven. De mivel a Hilbert féle axiomatikus program keretében sokkal egyszerübben is meg lehetett oldani a problémákat, a matematika számára szinte semmi haszon nem származott belőle. Én ugyan használtam valamikor, egy többértékű logikán felépítve valami fuzzy aritmetikát. A BME könyvtárából kivett példány tökéletesen olvasatlannak látszott, csak az első kötet belső margóját ütötte át egy gránátrepesz nyoma. A 150. oldal körül fogyott el a mozgási energiája, s ott ült a vas, sértetlenül hagyva a mellette sorakozó lemmákat. Buda ostroma óta valószínűleg senki se olvasta őket.

egy matematikai konstrukció is tekinthető időtlenül állandó törvénynek, pont ezt feszegettük korábban, hogy mi adhat 'testet' egy ilyen konstrukciónak? Az energia, az idő, vagy esetleg az emberi szellem? Mi az a szubsztancia ami által vagy ami mentén a matematika fizikává változhat.

Igen, nagyon romantikus elképzelni, hogy a fizika végül egy rejtélyes módon életre lehelt matematika volna. De azért én egy idő óta inkább a természetről való gondolkodásunk modelljeit látom a matematikai konstrukciókban. Igen, ennyire földhöz ragadt módon. Ez minden estre megalapoz egy operatív módszert az elméletek fejlesztésére. Mindamellett mégis jó visszagondolni arra, amikor még én is abban hittem, amiben te.

[Banzai]

Igen, nagyon romantikus elképzelni, hogy a fizika végül egy rejtélyes módon életre lehelt matematika volna. De azért én egy idő óta inkább a természetről való gondolkodásunk modelljeit látom a matematikai konstrukciókban. Igen, ennyire földhöz ragadt módon. Ez minden estre megalapoz egy operatív módszert az elméletek fejlesztésére. Mindamellett mégis jó visszagondolni arra, amikor még én is abban hittem, amiben te.

Én annyira azért nem hiszek benne, hogy ne tehetné képlékennyé bármilyen meggyőző indok ebbéli világképemet, sőt a filozófiák ingoványos és instabil terepe nem is nagyon engedi ezen hitek jelentősebb megszilárdulását, az egész inkább csak afféle gondolatkísérlet, vagy játék a még éppen elképzelhető dolgokkal. Nálad mi volt az ami megváltoztatta a korábbi álláspontodat és ami által úgymond "visszaminősítetted" a matekot a modellezésünk legnagyszerűbb eszközévé? Engem nagyon elvarázsol a matematikai modelleink és a fizikai kísérletek általi eredmények közötti szinte végtelen pontosságú egyezés a maga hibátlan működésével, másrészt érdekes az a homályos határ ahol még fizikai jelenségről vagy alkotókról beszélünk, de szinte már tökéletesen a matematikai modell alapján a matematika nyelvén, és úgy néz ki működik az egész. Sokszor olyan érzése lehet az embernek hogy ezek, a természetről való gondolkodásunk által létrejövő matematikai konstrukciók, szinte megegyeznek a modellezett valósággal. Pont ezért is merülhet fel az a gondolat miszerint a természeti törvények megfogalmazásának legegyszerűbb formája azért történhet a matematika nyelvén, mert ezt gondoljuk a leghatékonyabbnak, vagy azért mert szükségszerűen nem létezhet más fajta leírása? Mindkét eset sokkal messzemenőbb következtetéseket enged meg annál minthogy elmenjünk mellette, az egyik egy gyenge kapcsolatot, a másik egy erősebbet feltételez, de már a gyengét sem tudjuk nagyon kezelni, vagy megmagyarázni. Szerintem a fő probléma ott van, hogy a matematikák természetét sem ismerjük még a maga teljességében.

[api]

Nálad mi volt az ami megváltoztatta a korábbi álláspontodat és ami által úgymond "visszaminősítetted" a matekot a modellezésünk legnagyszerűbb eszközévé?

Nehezet kérdezel, de megpróbálok rá felelni. Persze nem egyszerre, hanem lassanként, ahogy eszembe jutnak a dolgok. Itt van mindjárt az első, amit te is mondasz:

a filozófiák ingoványos és instabil terepe nem is nagyon engedi ezen hitek jelentősebb megszilárdulását, az egész inkább csak afféle gondolatkísérlet, vagy játék a még éppen elképzelhető dolgokkal.

Így aztán lassan rájön az ember, hogy a különböző helyzetekben jól beváló matematikai eszközöket se érdemes valamiféle végső lényegnek kikiáltani. Az már inkább valami vallásos rajongáshoz hasonlítana. A tudományban szerintem inkább az örökké megújuló emberi találékonyság a lenyűgöző. Hogy egy kiismerhetetlenül bonyolult világban mindig találunk újabb egyszerűsítő nézőpontokat, amelyekkel egységesíthető a jelenségek egy-egy körének leírása. De mint látod, ezek a mondatok nem indokolják, hanem már hirdetik az álláspontomat.
Az első elmélet amiben megvalósulni láttam a matematika rejtélyes világkormányzó erejét, az elektrodinamika. Ilyen pillanat volt amikor Simonyi Károly bemutatta a Poynting vektort. Közvetlenül érezted a borzongató titkot, hogy az elektromos energia egyáltalán nem úgy terjed, mint ahogy addig elképzelted, az elektronok tülekedésével a drótban, hanem egy sokkal elvontabb, matematikaibb módon, körülötte az üres térben. Az elektromos hálózat vezetékei csak azért kellenek, hogy segítségükkel kifeszíthessük a Poynting vektor áramlását biztosító mezőt. De aztán Feynman híres bevezető fizikáját olvasva (Mai fizika 5.,6 kötet, 60.5 és 79. fejezet) rá kellett döbbennem, hogy az elektromágneses energia ilyen elképzelése legyen bármennyire hatékony számolási eszköz, elég fura gondok vannak vele. Egyrészt sok alternatív lehetőségünk is van a definiálására, amelyek más és más térbeli eloszlást jósolnak, és senki se talált még kísérleti eljárást, hogy válasszunk közülük. Igy aztán ma se ismerjük az igazit. Sőt legyen akármilyen, az ellentmondásban lesz a ponttöltés ideájával. Jó, kenjük kicsit szét az elemi töltéseket! Csakhogy ezt se sikerült matematikailag egzaktul, ellentmondásmentesen kiszámolni, még a QED-ben se. Ám a Poynting vektor ettől függetlenül is tud érthetetlen dolgokat művelni, még olyan egyszerű elrendezésben is, mint az egymás mellett nyugvó rúdmágnes és töltés. Nyilvánvalónak látszik, hogy itt semmiféle energiaáramlás nem lehet, az S=ExB mégis körbe rotál, mintha áramlana körülöttük. Még jó hogy ezt nem tudják az energiagyógyászok!
Szóval a valóság itt-ott kilóg a matematikai sémából. De a szememben Maxwell elmélete ettől még ugyanannyira lenyűgöző.

[dgy]

Nyilvánvalónak látszik, hogy itt semmiféle energiaáramlás nem lehet, az S=ExB mégis körbe rotál, mintha áramlana körülöttük.

Miért olyan nyilvánvaló?

Ebben az esetben éppen az absztrakt matektól való eltávolodás, a "fizikai" szemlélet segít. Vegyük komolyan azt, hogy az elektromágneses mező is ANYAG! Energiát, impulzust, perdületet stb tud hordozni.

A legegyszerűbb elrendezés, amin ezt demonstrálni lehet, a feltültott hengerkondenzátor, tengelyével párhuzamos mágneses térbe helyezve. Az elektromos erővonalak a tengelyre merőleges radiális irányba mutatnak, a mágneses erővonalak tengelyirányúak, vektorszorzatuk, a Poynting-vektor tehát körkörösen körbe mutat. A specrel szerint ahol energiaáramlás van, ott impulzus is van. Eszerint az impulzus körbejár, ez a tengelyre vonatkoztatott perdületet jelent. Ha részletesen utánaszámolunk, és kiintegráljuk a perdület sűrűségét a hengerkondi belsejére, véges értéket kapunk. Sztatikus szituáció, semmi se mozdul, a rendszernek az elmélet szerint mégis impulzusmomentuma van. "Nyilvánvalóan" nem lehetséges...

Hogy lehetne kimutatni a perdületet? Helyezzül az egész rendszert egy torziós szálra, majd egy tengelyirányú dróttal süssük ki a kondit. A rendszer forgásba jön. Honnan van a perdülete? A "hagyományos" elektrodinamika alapján persze értjük: a kondi kisütésekor töltések mozognak radiális irányban, a mozgásirányukra merőleges mágneses tér miatt tangenciális irányú erő hat rájuk, ennek a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka hozza forgásba a rendszert. A kísérletet elvégezték, a forgás fellépett.

Ha nem beszéltünk volna a Poynting-vektorról, hanem a kísérlettel kezdtük volna, akkor az lenne a kérdés: honnan jön a perdület? Talán az elektrodinamika törvényei (a furcsa vektorszorzatos Lorentz-erővel) megsértik a klasszikus mechanikában másfajta erők feltételezésével levezetett perdületmegmaradási törvényt? Akkor az mégsem annyira univerzális törvény?

Ha viszont komolyan vesszük a Poynting-képet (és a specrelt), akkor el kell fogadnunk, hogy még a sztatikus elektromos és mágneses erőtér-konfigirációk is képesek térben elosztott impulzust és perdületet hordozni - és a szituáció megváltoztatásakor ez a rejtett perdület manifesztálódik mechanikai forgásként. Érdekes módon a részletes számításból kiesnek az áramköri részletek, a kisütő drót ellenállása, a kisütési folyamat időbeli lefolyása: a megjelenő mechanikai perdület azonosnak adódik a körberohangászó Poynting-vektor abszurdnak tűnő képe alapján számított perdülettel.

Épp a "matematikai" jellegő modell komolyan vétele, a mező "anyagi" tulajdonságainak elfogadása teszi rendbe a képet, hozza egyensúlyba a perdület-elszámolás mérlegét, menti meg a mechanikánál általánosabb esetben is érvényes perdületmegmaradási törvényt!

Ez a példa jól mutatja, hogy az absztrakt matek és a fizikai gondolkodás együttműködése teszi lehetővé a jelenségek mélyebb megértését, általánosabban is érvényes törvények felállítását. És persze nem utolsósorban itt is megjelenik a speciális relativitáselmélet relevatív ereje: ennek egyik törvénye, az energia tehetetlenségének tétele (pontosabban: a dinamikai energiaimpulzus-tenzor szimmetrikus volta) tette lehetővé a fenti gondolatmenetet. Az elektrodinamika "beillesztése" a fizika egészébe nem lehetséges a specrel nélkül!

Feynman idézett magyarázata az ekvivalens leírásmódokról csak a sztatikára korlátozódik. Az elektrosztatikában tényleg mindegy, hogy egy feltöltött fémdarabokból álló rendszer összenergiáját a térben elosztott energiasűrűség integráljának vagy a fémdarabok között páronként definiálható kölcsönös kapacitások és a potenciálkülönbségek alapján kiszámolható páronkénti "potenciális energiák" összegének tekintjük (az utóbbiakat nem próbáljuk még gondolatban sem lokalizálni, csak úgy vannak...). A két kép ekvivalens, a képletek egymásba transzformálhatók. Amint azonban megmozdulnak a töltések, a helyzet megváltozik: a kapacitásos kép nem képes szemléletesen megmagyarázni, hogy az egyik töltött fémdarab megmozdítását bizonyos idővel követően az egész rendszertől nagy távolságban levő fémdarabban miért indul meg az áram. Ha viszont abból a képből indulunk ki, hogy a fémtestek közötti térben levő elektromágneses mezőben, térben elosztva helyezkedik el az energia, könnyen eljuthatunk (szemléletben és matematikailag is) ahhoz a gondolathoz, hogy a fémdarabok mozgatásakor a mező átrendeződik, hullámok indulnak meg benne, amik esetleg igen messzire is eljuthatnak, és ott hatást gyakorolhatnak további testekre is. Ebben az esetben a két kép nem ekvivalens.

Pontosabban: Feynman mintegy intellektuális sportteljesítményként levezetett egy képletet (valahol szerepel a Mai fizikában, igen ijesztő), ami közvetlenül, E és B mezők nélkül megadja két tetszőlegesen mozgó ponttöltés között fellépő erőhatás vektorát. Feynman tulajdonképpen kiintegrálta a Maxwell-egyenleteket, a töltés által keltett elektromágneses hullámok és a hullámok által megmozdított másik töltés mozgásegyenletéből kiküszöbölte a mezőket. Ez a képlet nem sztatikus esetben is érvényes, ekvivalens a Maxwell-elmélettel.

De ez csak sportteljesítmény, senki, maga a szerző sem gondolta úgy, hogy ezt a képletet kellene elfogadnunk a mezőkre épülő elektrodinamika helyett, és ennek alapján kellene leírnunk az elektromágneses jelenségeket. És nemcsak azért, mert a képlet nagyon bonyolult, és nehéz vele számolni. Azért is, mert nem tudnánk szemléletesen "megindokolni". Úgy, ahogy pl. az erővonalkép alapján ki lehet dumálni a ponttöltés 1/r^2-es erőtörvényét. Feynman képletében retardálás szerepel: az egyik töltésre ható erő a másik töltésnek nem a mostani, hanem a korábbi állapotától, mozgásától függ. Csúf képlet alapján lehet kiszámítani a retartdálás idejét. Ennek önmagában, a töltések leírása alapján semmiféle "értelme", szemléletes magyarázata nincs. Viszont rögtön a helyére kerül a dolog a mező-képben: a retardálási idő épp annyi, amennyi a mező fénysebességű hullámainak kell ahhoz, hogy az egyik töltéstől a másikig elérjenek. Ez a mező nélküli csodaképlet tehát csak a mező és a benne terjedő hullámok alapján kap értelmet. Feynman intellektuális bűvészmutatványa a mező kiküszöbölésére épp arra mutat rá, mennyivel természetesebb leírást és magyarázatot ad a jelenségekre a Maxwell által eredetilag csak matematikai trükként bevezetett mezőfogalom.

Az elektromágneses hullámok kísérleti kimutatása óta a mezőelméletnek nincs vetélytársa, ezt a "matematikai absztrakciót" fizikai valóságnak kell tekintenünk - minden furcsa következtetésével (pl a dróton kívül terjedő energiával és a sztatikus konfigurációban körberohangáló Poynting-vektorral) együtt.

Persze a kvantumelmélet az egészet elbonyolítja, de az már más tészta... (és más topik).

dgy

[Banzai]

Szóval a valóság itt-ott kilóg a matematikai sémából. De a szememben Maxwell elmélete ettől még ugyanannyira lenyűgöző.

Az is lehetséges, hogy ez a "kilógás" csupán annak a következménye, hogy tökéletlen a matematikánk, illetve az a matematikai arzenálunk amellyel meg szeretnénk alkotni ezeket a tervrajzokat. A mai elméleteinkben rengeteg, úgymond nem konzisztens fogást kell alkalmaznunk, hogy jobban és pontosabban közelítsük a kísérleti eredményeket, amire lehet hogy csak azért vagyunk rákényszerítve mert nem vagyunk még elég jó matematikusok. Nem tudjuk, hogy ezek a fogások miért működnek, milyen vonulatok vannak emögött. Azt látjuk, hogy a frontvonalban dolgozó fizikusok sokkal inkább már matematikusok, sok olyan terület van ahol azért lassú vagy nehézkes az előrelépés, mert nincsenek meg azok a matematikák, amelyek segítséget jelenthetnének a megértésben. És akkor nem beszéltünk még az általad is említett szuperhúr-elméletről, amely jelenleg egy színtiszta matematikai konstrukció, fogalmunk sincs arról hogy "kódolhat"-e univerzumokat, de mégis szinte az egyetlen reményt adja az előrelépésre... mindezt úgy, ahogy mondtad is, hogy közel húsz éve nem volt áttörés az elméletben. De ebben is részben pont azért álltunk meg, mert nincs meg a matek hozzá, ahogy Witten is mondta, húrelmélet XXI. század fizikája (matekja), csupán véletlenül pottyant az ölünkbe.

[api]

Ez a példa jól mutatja, hogy az absztrakt matek és a fizikai gondolkodás együttműködése teszi lehetővé a jelenségek mélyebb megértését

Igen így együtt. Mert néha elég torz világ köszöntene ránk, ha módunkban volna egy matematikai modellt szó szerint életre tapsolni. Gondolok például a szabad ponttöltés elektromágneses terének visszahatására. Ha ezt a töltés pillanatnyi koordinátarendszeréből írom le, akkor exponenciálisan gyorsítani látszik saját magát. Ha viszont egy külső inerciarendszerből, akkor ellenkezőképp, fékezi, pontosabban a tehetetlenségét növeli a visszahatásból eredő elektromágneses tömeg. Sőt, ha nullához tart a sugara, akkor végtelenhez tart a tömeg. Egy negatív végtelen sajáttömeg formális levonásával ugyan ki lehet erőszakolni a véges eredőt, csak a korrektség vész el.