Megfigyelőkről és megfigyeltekről (nem politikai téma!)

[triasz]

[api]

Ha 0.9c-re gyorsítanák vagy esetleg még gyorsabbra, akkor mennyi energia távozna gravitációs hullámok formájában?

Monopólusos és dipólusos gravitációs hullámok nem keletkezhetnek, a legalacsonyabb gerjeszthető multipólus összetevő a quadrupól. Miközben dipólusos elektromágneses hullám kelthető, például egy ellenkező előjelű töltéspárból álló elektromos dipólus rezgő mozgásával, vagy a dipólus szimmetriatengelyére merőleges tengely körüli forgása által. Aztán például mágneses dipólus hasonló gyorsuló mozgásaival. De mivel ellenkező előjelű tömegek nem léteznek, tömegdipólust nem lehet előállítani, tömeg quadrupólust viszont igen, ilyen például a Föld-Hold rendszer, meg persze az egymás körül keringő csillagpárok, fekete lyuk párok, stb. Ezek tudtommal akkor keltenek gravitációs hullámokat, ha quadrupol momentumuk idő szerinti harmadik deriválja nem zérus. Így például, ha a fekete lyuk párok egymás körüli keringésének sugara gyorsulva csökken.

[tuloktulok]

A monopólus és a dipólus kifejezésekkel már találkoztam. A quadrupólus viszont új. Mit jelent?

[api]

Például 2db "+" és 2 db. "-" elektromos töltés egy négyzet csúcsain, vagy négy mágnesrúd kereszt alakban, úgy hogy a négyzet csúcsain a körüljárás sorrendjében váltogatják egymást az ellenkező előjelű pólusok. Vagy két tömegpont egy négyzet két átellenes csúcsán, a másik kettőn meg semmi, vagy ott kisebb tömegpontok.
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrupole

A pólusszámot tovább növelve beszélhetünk magasabbrendű multipólusokról.
Egy térbeli függvényt pedig hasonlóan az egydimenziós periodikus függvények Fourier sorfejtéséhez, sorba lehet fejteni ilyen szferikus harmonikusok szerint. Például a Föld ideális gömbalaktól való különböző fajta eltéréseit lehet számszerűen kifejezni és vizsgálni a segítségükkel. Ami nagyon lényeges a műholdak pályáinak számolásánál.

Vagy mondjuk a CMB anizotropiáinak jellegzetességeit lehet általuk elemezni, aminek a legérdekesebb eredménye volt például, hogy ennek a foltosságnak a domináns módusa egy 180-200 körüli multipólus indexel jellemezhető, s ez az Univerzum terének nagy léptékekben megnyilvánuló görbületlenségét mutatja. (Más mérésekkel egybecsengően.)

[triasz]

[dgy]

Nem értem viszont hogy ha egy nem gömbszimmetrikus szupernóva kitörés, vagy egy gamma kitöréstől lehet gravitációs hullámokat várni, akkor egy nem gömbszimmetrikusan vagy hengerszimmetrikusan gyorsuló testtől miért nem?

Lehet.

Egy gyorsuló rakétát legegyszerűbben úgy modellezhetünk, mint két egymástól távolodó, erővel "szétlökött" testet. Ekkor a két testből álló rendszernek nő a kvadrupólmomentuma (a tenzor egyik komponense), és ennek megfelelő deriváltjával arányos gravitációs sugárzás keletkezik.

Én nem számoltam végig, és még nem is találkoztam olyan számolással, ahol ezt precízen végigviszik, egészen addig, amíg a rakéta az eredeti rendszerhez képest relativisztikus sebességet ér el. A szokásos, egymás körül keringő csillagokra vagy fekete lyukakra vonatkozó számolásokban a keringést nemrelativisztikusnak tekintik, és a klasszikus mechanika képleteit alkalmazzák, lásd pl Landau 2. kötet 110. fejezet. Biztosan meg lehet csinálni relativisztikus sebességekre is, sőt lehet, hogy valaki már ki is számolta...

A gravitációs hullámok formájában kisugárzott energia azonban valószínűleg csak igen kis töredéke a rakéta eredeti tömegének. Sokkal-sokkal többet visz el a kipöfögött hajtóanyag.

Megjegyzés: amikor azt írtam, hogy a gyorsítás befejezése után ismét egy (E,p) négyesimpulzussal, és egy ehhez tartozó M tömeggel jellemezhető a felgyorsított rendszer, azt nem úgy kell érteni, hogy ez megegyezik a gyorsítás előtti M értékkel. A változás mikéntje és nagysága a gyorsítás mechanizmusától, a gyorsító erő jellegétől stb függ.

dgy

[dgy]

api:

Ezek tudtommal akkor keltenek gravitációs hullámokat, ha quadrupol momentumuk idő szerinti harmadik deriválja nem zérus. Így például, ha a fekete lyuk párok egymás körüli keringésének sugara gyorsulva csökken.

A gravitációs hullámok kisugárzásához nem kell az, hogy a sugár gyorsulva csökkenjen. Egy közönséges keringés során is változik a kvadrupólmomentum, és itt a harmadik derivált egyszerűen annyit jelent, hogy a képletben megjelenik a keringési frekvencia köbe. Lásd Landau 2. 110. fejezet 1. feladat, 456. oldal.

A keringési sugár csökkenése nem ok, hanem következmény.

dgy

[api]

Ugye abból indultál ki, hogy a Földet egyenesvonalúan gyorsítanák. Na de az impulzusmegmaradás miatt az előremutató impulzusáram mellett ekkor lennie kell egy másik ugyanakkora, de épp hátrafelé mutató impulzusáramnak is (a hátra kilövellő hajtóanyag impulzusa). Én csak annyit érzek, hogy egy ilyen elrendezésből elsősorban hasonló dipólusos gravitációs hullámnak kellene keletkeznie, mint amilyen dipólusos elektromágneses hullám keletkezik az egymással ellentétes irányban gyorsított "+", és "-" töltéspárokból. Mármint akkor keletkezne ilyen gravitációs hullám, ha hátrafelé ellentétes előjelű tömeget gyorsítanánk. De hát ilyen tömeg nincs, és az impulzusmegmaradás miatt egyébként se lehetne negatív tömegű hajtóanyag hátralövésével előre gyorsítani egy pozitív tömeget.
Tudtommal egyébként általánosságban is épp az impulzusmegmaradás miatt nem keletkezik dipólusos gravitációs hullám.

Valami kicsi quadrupólusos hullám talán keletkezik a Föld és a hátralövött üzemanyag együttes quadrupól momentumának növekedése miatt, de erről nem tudok mondani semmit.

[dgy]

A kvadrupólmomentum-tenzor képlete:

[Renderelés ... Q_{kl}=\sum{m(3x_kx_l-\mathbf{r}^2\delta_{kl})}]Q_{kl}=\sum{m(3x_kx_l-\mathbf{r}^2\delta_{kl})}

Az összegezés (vagy integrálás) a testet alkotó tömegpontokra terjed ki, [Renderelés ... \mathbf{r}]\mathbf{r} az egyes tömegpontok helyvektora, [Renderelés ... x_k]x_k ennek komponenseit jelöli.

Vegyük a tenzor a [Renderelés ... 33]33 komponensét:

[Renderelés ... Q_{33}=\sum{m(3z^2-\mathbf{r}^2)}=\sum{m(2z^2-x^2-y^2)}]Q_{33}=\sum{m(3z^2-\mathbf{r}^2)}=\sum{m(2z^2-x^2-y^2)}

Ha a vizsgált test a [Renderelés ... z]z tengely mentén helyezkedik el, az [Renderelés ... x]x és [Renderelés ... y]y lényegében nullának tekinthetők.

Ha a test egy rakéta, és a [Renderelés ... z]z tengely mentén hátrafelé lövelli ki az elégetett üzemanyagot, maga pedig előre mozdul a [Renderelés ... z]z tengely irányában, akkor a fenti [Renderelés ... Q_{33}]Q_{33} komponens folyamatosan nő. Nemtriviális mozgás esetén úgy, hogy a harmadik deriváltja sem nulla. Ez pedig az [Renderelés ... (x,y)](x,y) sík minden irányába terjedő gravitációs hullámokat kelt.

Valószínűleg azt tévesztetted el, hogy az egyenes mentén elhelyezkedő két tömegpontot dipólusnak próbáltad tekinteni. Holott te is említettél egy ilyen példát a kvadrupólusra: a négyzet átlója végén levő két tömegpontot, ami ugyanaz, csak más irányban.

dgy

[api]

Igen, éppen ez történt.