Fourier transzformáció

Feladatok illetve megoldásaik, az elme frissen tartására.

Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.05.14. 20:35

Ki mit gondol? (és miért?)

[Renderelés ... g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i2\pi sx}f(x)\;dx} \;\;=?\;\; F[f(x)] \;\;\text{vagy}\;\; F^{-1}[f(x)]]

[Renderelés ... g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i2\pi sx}f(x)\;dx} \;\;=?\;\; F[f(x)] \;\;\text{vagy}\;\; F^{-1}[f(x)]]

(A második választás -1 felső indexe az inverz transzformációra utal.)
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.05.14. 20:48

Ki mit gondol? (és miért?)

Teljesen mindegy. Könyve, szerzője, egyetemi tanszéke válogatja.

Még legalább tízféle konvenció létezik.

Fizikusok például nem írnak [Renderelés ... 2\pi]-t a kitevőbe. Matematikusok viszont gyakran írnak az integrál elé [Renderelés ... \frac{1}{\sqrt{2\pi}}]-t, míg egyes fizikusok [Renderelés ... \frac{1}{2\pi}]-t.

Tökmindegy, csak egy számoláson belül konzekvensen kell használni a jelöléseket.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1729
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 822 times

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.05.14. 20:57

Köszönöm, de ez gyors rövidre zárása lenne a témának...

Esetleg valami ellenvélemény??
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.05.15. 19:01

de ez gyors rövidre zárása lenne a témának

Mivel jelöljük a hosszúságot? Egyesek szerint [Renderelés ... l]-lel, mások szerint [Renderelés ... h]-val, [Renderelés ... s]-sel, talán [Renderelés ... x]-szel...

Vélemény?

De ne hogy valaki túl gyorsan rövidre zárja a témát!

Ellenvélemény?
:)

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1729
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 822 times

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: SzZoli » 2016.05.17. 14:29

Mivel jelöljük a hosszúságot?


A régi válasz: lsd
;)
Avatar
SzZoli
 
Hozzászólások: 579
Csatlakozott: 2014.03.14. 19:09
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 116 times
Been thanked: 24 times
Név: Szabó Zoltán

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.05.23. 01:53

Lényegében az [Renderelés ... e]-ad kitevőjében szereplő előjel konvenció kapcsolatos a Dirac-delta szimmetriájával. Azonban lentebb látni fogjuk, hogy ez az önkényes választás a kvantummechanika csererelációjában is előjelváltozást okoz. A kanonikus cserereláció a kvantummechanika kiindulópontja, ami viszont a Fourier transzformációból eredeztethető, mivel alapvető és lényegi kapcsolat van közöttük.
Nézzük előbb a Dirac-deltát:

[Renderelés ... \int_{-\infty}^{\infty}{e^{i2\pi sx}\, ds} = \delta(x) = \delta(-x)]

és

[Renderelés ... \int_{-\infty}^{\infty}{e^{i2\pi s(x-x')}\, ds} = \delta(x-x') = \delta(x'-x)]

A Fourier transzformáció oda-vissza pedig így néz ki:

[Renderelés ... f(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{ds\, e^{-i2\pi sx'}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi sx} f(x)}} = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, ds\, e^{i2\pi s(x-x')} f(x)} =]

[Renderelés ... \;\;= \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\, f(x)} = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x'-x)\, f(x)}]

Ezzel újra előállítottuk az eredeti függvényt, és egyben rögzítjük az [Renderelés ... x'=x] kapcsolatot.
Az oda és visszatranszformálás lényegében azonos művelet, ezért jelöljük ugyan azzal a betűvel:

[Renderelés ... f(x')=f(x)=F^{-1}Ff(x)]

[Renderelés ... F^{-1}F=I] az [Renderelés ... 1]-nek megfelelő identitás operátor.
Az is nyilvánvaló, hogy [Renderelés ... F^{-1}=F^*] (a csillag konjugálást jelent).
Belátható, hogy [Renderelés ... F=\widetilde{F}] (a hullámvonal transzponálást jelent).
Az is belátható, hogy [Renderelés ... F^{-1}=F^+] (a + adjungálást jelent).
Így az is, hogy [Renderelés ... F^+F=I], ami azt jelenti, hogy [Renderelés ... F] unitér operátor.

Az identitás operátor bármelyik operátorral felcserélhető, tehát:

[Renderelés ... F^{-1}IF=I]

A bal oldal egy hasonlósági transzformáció, és az identitás operátorhoz önmagát rendeli.
De vajon mit rendel a Fourier transzformáció unitér operátorával elvégzett hasonlósági transzformáció pl. a hely, vagy impulzus koordinátával való szorzás operátorához?? Tekintsük ezt egy alapvető műveletnek, hiszen a sajátfüggvénye (sajátdisztribúciója) a szintén alapvető Dirac-delta, sajátérték spektruma pedig folytonos az egész valós számegyenesen [Renderelés ... -\infty]-től [Renderelés ... +\infty]-ig. Legyen nagy [Renderelés ... P] és [Renderelés ... Q] az impulzus és helykoordináta operátora impulzus-reprezentációban, kis [Renderelés ... \text{p}] és [Renderelés ... \text{q}] koordináta reprezentációban. Nevezzük ki a Fourier transzformált terét impulzustérnek. Impulzus-reprezentációban az impulzus operátorához az impulzus koordinátával való szorzás tartozik, hasonlóan koordináta-reprezentációban a koordináta operátorához a helykoordinátával való szorzás tartozik. Ezeket az operátorokat át kell tudnunk transzformálni az egyik reprezentációból, mint vonatkoztatási rendszerből a másikba. Ezzel együtt lényegében ez a kapcsolat adja meg a kvantummechanika alapját, a hullámszerűséget. A Fourier transzformáció, mint unitér hasonlósági transzformáció, és mint bázistranszformáció adja meg ezt a kapcsolatot.

Az impulzus operátora koordináta reprezentációban: [Renderelés ... \text{p}=F^{-1}PF]

A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: [Renderelés ... Q=F\text{q}F^{-1}]

(Ez teljesen értelemszerű, mivel a szintaxisban az operátorok balról jobbra hatnak.)

Nézzük előbb az elsőt:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\; P \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\; p \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, p\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

A második integrált az [Renderelés ... \int{f'g}=fg-\int{fg'}] parciális integrálással lehet megoldani:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'} \left(\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \frac{-1}{i2\pi}\, e^{i2\pi px}\; \frac{d}{dx}\psi(x)} + \left[ \frac{1}{i2\pi}\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)\right]^{\infty}_{-\infty}\right)}]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{-1}{2\pi i} \left(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, dp\, e^{i2\pi p(x-x')}\; \frac{d}{dx}\psi(x)} - \left[\int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{i2\pi p(x-x')}\; \psi(x)}\right]^{\infty}_{-\infty}\right)]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{-1}{2\pi i} \left(\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\; \frac{d}{dx}\psi(x)} - \left[\delta(x-x')\; \psi(x)\right]^{\infty}_{-\infty}\right)]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x) = \frac{-1}{2\pi i} \left[\frac{d}{dx}\psi(x) + \delta(-\infty-x)\; \psi(-\infty) - \delta(\infty-x)\; \psi(\infty)\right]]

A második két tag okoz némi fennakadást a végtelenben...
Egy kicsit másképp variálva az integrálást, de lényegében ugyan ez:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\; p \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \left[\int_{-\infty}^{\infty}{dp\, p\, e^{i2\pi p(x-x')}}\right] \psi(x)}]

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{1}{2\pi i}\, \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \frac{d\delta(x-x')}{d(x-x')}\, \psi(x)}]

Parciális integrálást alkalmazva, mint fentebb:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{-1}{2\pi i}\, \left(\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\, \frac{d\psi(x)}{d(x-x')}} - \left[\delta(x-x')\,\psi(x)\right]^{\infty}_{-\infty}\right)]

Ahol: [Renderelés ... d(x-x')=dx], mert [Renderelés ... x'] rögzített paraméter a kalkulációban (de úgy is nézhetjük ezt, hogy [Renderelés ... \frac{d\psi(x)}{dx'}=0], mert [Renderelés ... \psi(x)] nem függvénye [Renderelés ... x']-nek). Ugyan arra jutunk, mint fentebb:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x) = \frac{-1}{2\pi i} \left[\frac{d}{dx}\psi(x) + \delta(-\infty-x)\; \psi(-\infty) - \delta(\infty-x)\; \psi(\infty)\right]]

Ez az utolsó felírás az előzőből nem kielégítő (csakúgy, mint fentebb), sőt, egyáltalán nem jó, mert már előtte a (zavaró) [Renderelés ... \left[\delta(x-x')\,\psi(x)\right]^{\infty}_{-\infty}] tag eltűnik az alábbi meggondolás szerint:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{-1}{2\pi i} \left(\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\; \frac{d}{dx}\psi(x)} - \left[\delta(x-x')\; \psi(x)\right]^{\infty}_{-\infty}\right)]

A [Renderelés ... dx] integrálási elem minden határon túl infinitezimálisan kicsi, de nem nulla intervallum. Ezzel szemben a Dirac-delta nem egy ilyen infinitezimálisan keskeny intervallumon veszi fel a nem nulla értékét, hanem csak egyetlen pontban. (Ezért van szüksége minden határon túl végtelen értékre e pontban ahhoz, hogy az itt áthaladó határozott integrálja véges értéket adjon.) Ez a pont vagy az integrálási elemen belül, vagy pedig kívül helyezkedik el, de az elem határán nem. Ez azt jelenti, hogy az integrálási elem határán a Dirac-delta mindig nulla értékű. Így az integrálási tartomány határán a végtelenben is nulla az értéke, tehát az említett második tag eltűnik. (Ha visszamegyünk a parciális integrálás elé, akkor már a Dirac-delta deriváltjával hasonlóan okoskodva a [Renderelés ... dx] intervallumra, egyből a lentebbi helyes végeredményt kapjuk.)
(A disztribúcióelmélet szerint is ezzel egybevágóan eltűnik az a tag...)

Marad:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x') = \frac{-1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\; \frac{d}{dx}\psi(x)}], amiből:

[Renderelés ... \text{p}\,\psi(x) = \frac{-1}{2\pi i} \frac{d}{dx}\psi(x)], vagyis: [Renderelés ... \text{p} = \frac{-1}{2\pi i} \frac{d}{dx}], és [Renderelés ... \text{q}=x]

Egy negatív előjel van a szokványoshoz képest, ami a Fourier transzformációban lévő kitevő előjeléből ered. Ez a választásunk eredménye. Ugyanis önmagában hiába szimmetrikus a Dirac-delta, a hasonlósági transzformáció különböző integrálokban szerepelteti az egyik, illetve másik felét, és a transzformálandó mennyiséget e két fél közé teszi. A kalkuláció során felmerülő deriválások pedig lejuttatják a kitevőből az előjelet.

Nézzük a másodikat: [Renderelés ... Q=F\text{q}F^{-1}]

[Renderelés ... Q\,\psi(p') = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi p'x}\; \text{q} \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px}\; \psi(p)}}]

[Renderelés ... Q\,\psi(p') = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi p'x}\; x \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px}\; \psi(p)}}]

[Renderelés ... Q\,\psi(p') = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi p'x}\int_{-\infty}^{\infty}{dp\, x\, e^{-i2\pi px}\; \psi(p)}}]
...

Teljesen hasonló számítással adódik: [Renderelés ... Q\,\psi(p) = \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dp}\psi(p)], vagyis: [Renderelés ... Q = \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dp}], és [Renderelés ... P=p]

A csererelációk: [Renderelés ... [P,Q]=PQ-QP=?] (ami szokványosan [Renderelés ... \frac{h}{2\pi i}I])

[Renderelés ... \left[p\,,\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dp}\right]\psi = \frac{1}{2\pi i} \left(p\frac{d\psi}{dp} \,-\, \frac{d}{dp}(p\psi)\right) = \frac{-1}{2\pi i}\,\psi], amiből: [Renderelés ... PQ-QP=\frac{-1}{2\pi i}I]

A koordináta-reprezentációbeli cserereláció pedig: [Renderelés ... [\text{p},\text{q}]=\text{pq}-\text{qp}=?] (ami szokványosan [Renderelés ... \frac{h}{2\pi i}I])

[Renderelés ... \left[\frac{-1}{2\pi i}\frac{d}{dx}\,,x\right]\psi = \frac{-1}{2\pi i} \left(\frac{d}{dx}(x\psi) \,-\, x\frac{d\psi}{dx}\right) = \frac{-1}{2\pi i}\,\psi], amiből: [Renderelés ... \text{pq}-\text{qp}=\frac{-1}{2\pi i}I]

Visszafelé: [Renderelés ... \text{q}=F^{-1}QF]

[Renderelés ... \text{q}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\; Q \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{q}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\; \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dp} \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{q}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dp} e^{i2\pi px}\; \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{q}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}{dp\, e^{-i2\pi px'}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, e^{i2\pi px}\; x \psi(x)}}]

[Renderelés ... \text{q}\,\psi(x') = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{dx\, dp\, e^{i2\pi p(x-x')} x\psi(x)} = \int_{-\infty}^{\infty}{dx\, \delta(x-x')\, x\psi(x)}]

Amiből látszik, hogy [Renderelés ... \text{q}\,\psi(x) = x\psi(x)], vagyis: [Renderelés ... \text{q}=x] ahogy azt fent definiáltuk.

Szándékosan nem használtam a [Renderelés ... h] Planck állandót, mivel az csak egy mértékválasztás (nálam éppen 1). Nem a Planck állandótól jön létre a kvantumosság, hanem a fizikai mennyiségekhez rendelt operátorok viszonyaitól, pontosabban pl. a legalapvetőbb kanonikus mennyiségek (hely és impulzus) operátorainak csererelációjától ( azért csak "pl.", mert vannak más nem folytonos jellegű szabadsági fokok, és arra vonatkozó hasonló csererelációk, mint pl. a spin..), és amit ez hoz magával, generálja az egész kvantumelmélet alapját: a kvantumos hullámszerűséget, és egyben a kvantummechanikát. A Planck állandóval való nullához tartás, lényegében eltörli határesetben a csererelációkat, így az operátorok felcserélhetők lesznek egymással, és ezzel megszűnik a kvantumosság egész alapja. Egyébként ez a [Renderelés ... h] matematikai szemmel amolyan "energia-impulzus-periódushossz viszonymérték". Ezért van hozzáragadva a [Renderelés ... 2\pi], és ezért is tartják számon a redukált Planck állandót (Dirac nyomán), ami egyszerűsített jelöléssel [Renderelés ... \hslash=\frac{h}{2\pi}]. Matematikai kalkulálódása során hullám amplitúdókban is megjelenik, pl. normálásnál. Az impulzusnak a hullámhosszal való közvetlen kapcsolata folytán, pedig közvetlenül az energiával kerül kapcsolatba a Planck állandó.
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára szabiku 2016.06.03. 03:03-kor.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.05.23. 15:39

Azonban lentebb látni fogjuk, hogy ez az önkényes választás a kvantummechanika csererelációjában is előjelváltozást okoz.

Szó sincs róla. A kutya máshol van elásva.

A kvantummechanikának ugyanis semmi köze sincs ahhoz, hogy egy transzformációt vagy az inverzét nevezzük-e Fourier-transzformációnak. Ez ugyanis puszta konvenció, éppen úgy, mint a [Renderelés ... 2\,\pi] faktorok elhelyezése.

A kvantummechanikában szereplő előjel viszont nem önkényes. Az a klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusában szereplő szimplektikus struktúrából származik, és egyértelműen meghatározott. A hely- és impulzusoperátorok kommutátorának jobb oldalán szereplő előjel tehát adott, ezért amikor függvényreprezentációban dolgozunk, és már miután rögzítettük, hogy a helyoperátornak a helykoordinátával való szorzás felel meg, ezután megkeressük az impulzusoperátor reprezentációját, akkor egyértelműen a gradiens [Renderelés ... (\hbar/i)]-szeresét kapjuk. Ez egyben rögzíti az impulzusoperátor sajátfüggvényei kitevőjének előjelét is: a [Renderelés ... p] sajátértékhez tartozó sajátfüggvény [Renderelés ... exp(-\frac{ipx}{\hbar})] lesz.

Ezek után megkérdezhetjük, milyen kapcsolat van ugyanannak az állapotnak a helyreprezentáció-beli és impulzusreprezentáció-beli állapotfüggvénye között. Kiderül, hogy ezek egymás Fourier-transzformáltjai. De azt, hogy az egyik a másik F-transzformáltja és a másik az egyik inverz F-transzformáltja, vagy éppen fordítva - ezt csak azután jelenthetjük ki, hogy (valahol máskor, korábban, egy matekkönyvben vagy a saját cikkünk elején) definiáltuk, hogy pontosan milyen előjel- és elnevezés-konvenciót használunk a F-trafók elméletében.

Másképp mondva: az alábbi képletekben
Az impulzus operátora koordináta reprezentációba: p=F−1PF
A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: Q=FqF−1

nyugodtan felcserélhettük volna az [Renderelés ... F] és az [Renderelés ... F^{-1}] jelöléseket:
Az impulzus operátora koordináta reprezentációba: p=FPF−1
A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: Q=F−1qF
, ha más konvenciót használó könyvből tanuljuk a F-transzformációt. A lényeg, a végeredmény, a kvantumos számolások, a cserereláció változatlanok maradnának (ezek ugyanis nem önkényesek) - csak a transzformáció elnevezése változott volna (ez ugyanis önkényes).

Tanulság: egy emberi döntést, önkényes választást, előjelkonvenciót nem lehet megindokolni egy rá épülő alkalmazás, elmélet belső érveivel. A felhasznált matematikának az adott fizikai alkalmazáshoz illesztésénél ugyanis mindig úgy járnak el, hogy az önkényes paraméterek, szorzótényezők biztosította szabadsággal kompenzálják a matematikai definícióban rejlő szabadságot, önkényt - így a fizikai eredmények már egyértelműek, önkénymentesek lesznek, a sokféle lehetséges matematikai választás ellenére is.

dgy

These users thanked the author dgy for the post:
szabiku
Rating: 11.11%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1729
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 822 times

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.06.03. 03:15

dgy írta:A kvantummechanikában szereplő előjel viszont nem önkényes.

Igen, és éppen ezért indítottam ezt a topikot.

Viszont az én meglátásom a következő:

A szintaxisban jobbról balra haladva az [Renderelés ... F] unitér operátorral térünk át az egyik vonatkoztatási rendszerből a másikba (bázistranszformáció). Ez egyértelmű és egyirányú áttérést jelent, azaz egyértelműen odairányt definiál. Az ehhez tartozó visszairányú áttérés is egyértelmű és egyirányú a szintaxisban jobbról balra haladva, amit [Renderelés ... F^{-1}]-el jelölünk.

A bázistranszformációnál nem marad külön a két tér, azaz amiből és amibe a leképezést végezzük, hanem speciel ezeket azonosnak tartjuk, és ezt a lineáris skalárszorzattartó transzformációt bázis-(ortonormált teljes bázisrendszer)-váltásnak, vonatkoztatási rendszer váltásnak tekintjük. (A Fourier transzformáció az L2 függvényteret önmagára képezi le, de ennél több is igaz! Mégpedig az, hogy az S' teret, ami tartalmazza a fontos Dirac-delta disztribúciót és a komplex síkhullámot, is önmagára képezi le. Ez fontos és lényeges a folytonos spektrum esetén... --> viewtopic.php?f=25&t=258&start=7 )

Éppen ezért tulajdonképpen értelmetlen az [Renderelés ... FF], vagy [Renderelés ... F^{-1}F^{-1}] kifejezés, mert a két operátor között (ahol most nem szerepel semmi, vagy ha úgy tekintjük, akkor az identitás operátort van csak köztük, de nem ez a lényeg..) ugyanis visszaugrunk a kiinduló vonatkoztatási rendszerbe, ami helytelen és értelmetlen. (Ezeknek az említett és hasonló kifejezéseknek szűz matematikai értelme úgy van, ha egyszerűen csak két külön tér közötti leképezésként tekintenénk rájuk, és nem mint bázisváltó transzformáció...)

Így az [Renderelés ... FF^{-1}] és [Renderelés ... F^{-1}F] kifejezések sem ugyan azt jelentik, hiába azonosak mindketten az identitás operátorral, mert az együttes hatásuk éppen így csak egy oda-visszát tesz minden egyéb nélkül. Ámde az elsőnél az oda-vissza kiindulása és menete egyértelműen ellentétes, mint a másodiknál. Az elsőnél a kiindulás, mint vonatkoztatási rendszer, az impulzus reprezentáció (azaz a frekvencia és hullámhossz tartomány), mert jobbról balra haladva az első alkalmazandó operátor az [Renderelés ... F^{-1}]. A másodiknál pedig az [Renderelés ... F]-et alkalmazzuk először, mert ezzel kezdődik jobboldalt, ami értelemszerűen és egyértelműen határozza meg, hogy a jobboldalra írt pl. [Renderelés ... \psi] függvény koordináta reprezentációbeli: [Renderelés ... F^{-1}F\psi]. Még [Renderelés ... FF^{-1}\psi] esetében [Renderelés ... \psi] egyértelműen impulzus reprezentációbeli. Hiába [Renderelés ... F^{-1}F=FF^{-1}=I=1]. Ez sajnos elfedi az előbbi meggondolást, ami nagyon is lényeges.

Tehát én helytelennek tartom a következőket:

dgy írta:nyugodtan felcserélhettük volna az [Renderelés ... F] és az [Renderelés ... F^{−1}] jelöléseket:

Az impulzus operátora koordináta reprezentációba: [Renderelés ... p=FPF^{−1}]
A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: [Renderelés ... Q=F^{−1}qF]

Egy gyors belátás: pl. az idézet utolsó betűje, az [Renderelés ... F] operátor alkalmazása impulzus reprezentációban a leírtak szerint értelmetlen, hiszen nincs ez felett egy "még-impulzusabb" reprezentáció, másrészt [Renderelés ... F] pedig nem a visszatérést hivatott jelenteni koordináta reprezentációba.

Az [Renderelés ... F], [Renderelés ... F^{-1}] honnan-hova, és a [Renderelés ... P], [Renderelés ... \text{p}], [Renderelés ... Q], [Renderelés ... \text{q}] értelemszerűen rögzített jelentésében, csak az alábbi felírások helyesek:

Az impulzus operátora koordináta reprezentációban: [Renderelés ... \text{p}=F^{-1}PF]

A helykoordináta operátora impulzus reprezentációban pedig: [Renderelés ... Q=F\text{q}F^{-1}]

Így, ha ezekkel a helyes előjelű kvantummechanikai csererelációkhoz akarunk jutni, akkor a Fourier transzformációban az [Renderelés ... e]-ad kitevőjében az előjel már nem konvencionális, hanem a következők szerinti:

[Renderelés ... g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i2\pi sx}f(x)\;dx} \;\;=\;\; F^{-1}[f(x)]]

[Renderelés ... g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i2\pi sx}f(x)\;dx} \;\;=\;\; F[f(x)]]

Tehát pont ellentétes azzal, ahogy azt az előző hozzászólásomban a számításokban (direkt) alkalmaztam!
Ha ez utóbbi szerint számolunk, akkor nincs az az előjel eltérés, és minden helyesen jön ki.
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: dgy » 2016.06.03. 11:58

Ismét nem stimmel.
A szintaxisban jobbról balra haladva az F unitér operátorral térünk át az egyik vonatkoztatási rendszerből a másikba (bázistranszformáció).

Az természetesen egyértelmű (mint korábban írtam is), hogy a kvantumelméletben milyen operátor visz át az egyik reprezentációból a másikba, és melyik visz vissza.

Az viszont nem egyértelmű, hogy melyik az EGYIK reprezentáció, és melyik a MÁSIK. Egyik sincs kitüntetve a másikhoz képest, ezért ugyanolyan joggal indulhatók az egyik fajta leírástól a másik felé, mint fordítva. És akkor természetesen azt nevezem F transzformációnak, amelyik az általam kezdőnek tekintett leírásból visz a másikba, és inverznek a visszatranszformációt. Aki pedig fordítva kezdi, az ugyanilyen joggal fordítva nevezi el ugyanazokat a transzformációkat. Ezért írtam, hogy az elnevezés puszta konvenció, az a lényeges, hogy konkrétan mit csinálnak az operátorok, milyen műveleteket kell végrehajtani a transzformációk során. Az elnevezés érdektelen, másodrendű kérdés.

És ettől a fizikai feladattól teljesen független az eredeti kérdés, hogy a matematikán belül melyiket tekintik az "oda-", és melyiket a "vissza-" Fourier-transzformációnak. Míg a fizikában esetleg van valami szokásjog vagy ködös megegyezés (nagyrészt történeti véletlenekre alapozva), mely szerint a Schrödinger-féle helyreprezentációt tekintik az "eredetinek", és innen szoktak elindulni, mint a tánciskolában a kályhától (nem utolsósorban azért, mert helyreprezentációban könnyebb szemlélteni a laikusoknak, mit is jelent a valószínűségi értelmezés), addig a matematikán belül a két reprezentáció, amelyek közt a Fourier-transzformáció közlekedik, ténylegesen teljesen ekvivalens, semmi elvi vagy "társadalmi" okunk sincs őket megkülönböztetni. Így az, hogy melyik az oda- és melyik a visszatranszformáció, teljesen puszta konvenció, és a különböző szerzők másképp, saját véletlen szempontjaik alapján döntenek (pl azért, mert ők is éppen így tanulák saját tanáraiktól). Ráadásul e matekosok általában nincsenek is tisztában a fizikai alkalmazás előjel-követelményeivel (sőt, ha tudnának róla, öntudatosan visszautasítanák: nehogy már a fizikusok mondják meg, mit és hogyan definiálhatok!).

Olyan ez, mint a jobb és a bal oldal megkülönböztetése, ami puszta konvenció. Bejelentik például, hogy holnaptól Bergengóciában a közlekedésben az eddigi jobbkéz-szabály és jobbra hajts helyett balkéz-szabály és balra hajts lesz érvényben. Spórolás miatt nem tervezik át az utakat, nem helyezik át a közlekedési táblákat stb, minden marad a régiben, csak amit eddig jobbnak hívtak, azt ezentúl balnak nevezik és viszont. (A sajtó hamarosan kideríti: az intézkedés oka az, hogy a diktátort sokat csúfolták gyerekkorában balkezessége miatt. Mostantól ő a jobbkezes, és ő csúfolhat másokat.) Ha ezt az intézkedést a világ minden országában bevezetnék, akkor sem változna semmi lényeges dolog, minden ugyanúgy folyna, mint korábban, csak az elnevezés változna.

Node vannak valóban nem szimmetrikus dolgok - a szívünk pl a bal oldalon van. Semmi vész, ezentúl a jobb oldalon lesz. Ezt minden tankönyvben át kell írni. A matekon és a konvención KÍVÜLI dolgok objektívek, ezért a leírás megváltoztatásakor át kell írni a referenciákat. De ez nem változtat azon, hogy nincs "objektív" módon megkülönböztethető és elnevezendő jobb- és baloldal: az elnevezés csak rajtunk múlik, és nem érdemes presztizskérdést csinálni belőle.

És e példából az is látszik, hogy ahol kétféle konvenció alakulhatott ki (pl bal- és jobboldali közlekedés), és ezek valóban ki is alakultak, meg is gyökeresedtek, ott egy elnevezésbeli reform vagy gyökeres fordulat sem tehet rendet. Ha holnaptól minden országban megfordítanák a bal- és jobboldal elnevezését, attól még továbbra sem lenne egyféle a közlekedés, megmaradna a kétféle rendszer - csak ezentúl náluk lenne baloldali, és Angliában jobboldali közlekedés.

A júzerek igényei nem szabhatják meg az önkényes matematikai vagy társadalmi definíciókat. És ezért erről nem is érdemes vitatkozni. Ami lényeges, az az, hogy amikor a tényleges cselekvésre kerül a sor, az elnevezésől függetlenül minden a helyén legyen: a matematikai képletekben a megfelelő helyen legyenek a mínuszjelen, az autók pedig az út megfelelő oldalán guruljanak. Az elnevezés lényegtelen, csak a cselekvés számít.

dgy

These users thanked the author dgy for the post:
szabiku
Rating: 11.11%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1729
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 822 times

Re: Fourier transzformáció

HozzászólásSzerző: szabiku » 2016.07.26. 07:01

Amikor fent azt írtam, hogy:
szabiku írta:Nevezzük ki a Fourier transzformált terét impulzustérnek.

Akkor még valahogy úgy tűnt, hogy ez nem annyira konvenció, és majd később megmagyarázom, hogy miért így a megfelelő.
De most ha jobban belegondolok, és elvonatkoztatok, akkor a Fourier transzformált tere éppen ugyan olyan joggal lehet a helykoordináta-tér is.
Egyetértek DGy-vel a fentiekben. :D
És szerintem kiváltképp hasznos volt ez a téma és topik.
______________________________________________________


Ez lett volna nagyjából az említett magyarázat (amit azért érdemes megemlíteni):


A matematikában a jobb és bal (pl. hogy valami jobbcsavarodású vagy balcsavarodású) egyenjogú, azaz egymással szemben nem kitüntetett, de megkülönböztetett tulajdonság.
A kvantummechanika matematikájában a reprezentáció (mint vonatkoztatási rendszer) elnevezését az adja, hogy abban az elnevezésnek megfelelő mennyiséghez rendelt operátor a mennyiséggel való szorzás művelete.
Amikor fent azt írtam, hogy:
szabiku írta:Nevezzük ki a Fourier transzformált terét impulzustérnek.

Akkor ezzel vajon mennyire voltam konvencionális jellegű?? A konvenciók, mint választások, bizonyos értelemben lehetnek kitüntetettek egy másik lehetőséggel szemben. A matematikát nem lehet teljesen elválasztani a fizikától olyan értelemben, hogy fogalmaink és elképzeléseink nem csupaszíthatók le teljesen, hogy azoknak semmilyen vonatkozása ne lehessen a fizikai világunkra. A Fourier-(oda)transzformációval a hullámszerű tulajdonságokat hozzuk mennyiségi előtérbe, még a Fourier-(vissza)transzformációval a (részecske szerű) jelenléti tulajdonságokat. Egy valamilyen objektummal kapcsolatos jelenlét az elképzelésünkben a "Helyileg hol?" kérdés információja. A helykoordináta-tér képzeletileg egy kitüntetett kvantummechanikai vonatkoztatási rendszer, ugyanis az (ÉN)TUDAT egy viszonylag lokalizált makroszkopikus objektumban, az érzékszervekkel rendelkező testben foglal helyet. Így az ezzel alkotott elképzeléseinkkel nem tudjuk az impulzusteret egyenrangúnak tekinteni a helykoordináta-térrel. (Próbáljuk meg valahogy elképzelni magunkat, és a körülöttünk lévő világot impulzustérben!)
Avatar
szabiku
 
Hozzászólások: 337
Csatlakozott: 2014.12.15. 18:38
Tartózkodási hely: Győr
Has thanked: 15 times
Been thanked: 6 times
Név: Kurdi Szabolcs


Vissza: Rejtvények, feladványok

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 0 vendég

cron