Érzékeny egyensúly

Feladatok illetve megoldásaik, az elme frissen tartására.

Érzékeny egyensúly

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.11. 17:17

Tekintsünk egy tollat, amelyet hegyére állítva, instabil egyensúlyi helyzetbe állítunk. A toll hegye nem csúszik meg a felületen.
Adjunk becslést arra, hogy mennyi ideig marad meg a toll az instabil egyensúly környékén, ha figyelembe vesszük:
A) a hőeffektust, vagyis a levegő-molekulák kölcsönhatását a tollal.
B) a szögmérés kvantummechanikai bizonytalanságát.

Hasonlítsuk össze a két esetet. A toll ideálisan vékonynak vehető.

Az egyensúly környékén azt a szögkitérés-tartományt értjük, amikor a szögkitérés még szemmel éppen nem észrevehető, mondjuk 0.1 radiánig.
G.Á
 
Hozzászólások: 1010
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 274 times

Re: Érzékeny egyensúly

HozzászólásSzerző: rasta27 » 2017.06.11. 19:52

Avatar
rasta27
 
Hozzászólások: 446
Csatlakozott: 2015.02.24. 18:37
Tartózkodási hely: Kalocsa
Has thanked: 123 times
Been thanked: 26 times
Név: Kiss Dávid

Re: Érzékeny egyensúly

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.11. 21:03

Nem igazán.
Először érdemes a problémához illeszkedő Hamilton-operátort felírni, azután megkapni a mozgásegyenleteket.
Ez eddig persze sima ZH-feladat is lehetne, a probléma lényege ezután következik.
G.Á
 
Hozzászólások: 1010
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 274 times

Re: Érzékeny egyensúly

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.22. 15:30

Kis segítség az A) részhez.
A toll merevnek tekinthető, a hegye a felülethez rögzített, ezért leírható a tömeg-középpontjának a szögkitérésével, vagyis a
[math]
Hamilton-függvényen keresztül.
A mozgásegyenlet:
[math]
Ahol a linearizálás teljesen elfogadható a kérdéses tartományban.
Bevezetve a szokásos [Renderelés ... ω^2=g/l] jelölést, az egyenlet [math]
melynek megoldása [math].

Ha a kezdeti feltételeket beírjuk, a szög konstans nullának adódik.

A termikus környezet figyelembevétele egzaktul úgy történhet, hogy a Newton-egyenlet helyett a sztochasztikus Langevin-egyenletet használjuk.
Erre azonban (mivel úgyis csak becslés a célunk) nincs szükség.

Habár a tollat "makroszkopikusan merev"-nek tekintettük, a valóságban természetesen atomos szerkezetű.
Az atomlánc (illetve atomtömb) azonban rengeteg rezgési+csavarási...stb módussal rendelkezik.

Az ekvipartíciós tétel a rendszerre teljesül, ezért egyensúlyban az összes módusra [Renderelés ... \dfrac{kT}{2}] energia jut.
Ez természetesen azt jelenti, hogy a toll egészének a forgási/transzlációs módusára is jut ennyi energia.

Ezen nem kell meglepődni, hiszen a Brown-mozgás egészen univerzális jelenség, csak a testek nagy tömegei miatt gyakorlatilag észrevehetetlenek.
A transzlációs módusokat most kizárjuk, elegendő csak a forgással foglalkozni.

[math]=mkT
G.Á
 
Hozzászólások: 1010
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 274 times

Re: Érzékeny egyensúly

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.11.23. 22:30

A fentiekből következik, hogy az ekvipartíció-tétel révén:
[math].

Fizikailag ez azt jelenti, hogy még ha képesek is lennénk a [Renderelés ... \theta_0=0 ; \dot{\theta}_0=0] kezdeti feltétel rögzítésére, a termikus kölcsönhatás révén gyorsan beálló egyensúlyban a toll mégis nemnulla forgási energiával rendelkezne.
Mivel csak becslés a célunk, ezúttal figyelmen kívül hagyhatjuk a bonyolult, csak statisztikailag leírható dinamikát, és feltételezzük, hogy az újonnan kialakuló termikus egyensúlynak megfelelő nagyságú, véletlenszerű irányra vonatkozó szögsebesség új kezdeti feltételt teremt.
Ennek megfelelően, a klasszikus mechanika determinisztikus modelljében számolunk tovább.

Ez azt jelenti, hogy:
[Renderelés ... \dot{\theta}_0 \approx \sqrt{\dfrac{kT}{ml^2 } }].
[Renderelés ... c_1 = -c_2 = \dot{\theta}_0/2\omega]
illetve
[math].


Ebből, felhasználva a kezdeti szögsebesség igen kicsiny voltát:
[math].

Közönséges körülmények között [Renderelés ... kT\approx 4 \times 10^{-21} J], a toll hossza kb 10 cm, tömege kb 10gramm.
Ha jól helyettesítettem be, akkor a toll egyensúlyának "élettartama" a termikus hatások miatt körülbelül két másodperc.

Ez meglehetősen közel áll az általános iskolai tapasztalatainkhoz, feltételezve hogy kísérleteztetek azzal, hogy mennyi ideig áll meg a ceruza a hegyén.
G.Á
 
Hozzászólások: 1010
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 274 times


Vissza: Rejtvények, feladványok

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 0 vendég