Gyorstalpaló a Jaynes-Cummings modellig

[G.Á]

Mivel nagyon sok félreértéssel találkozik az ember a QED fogalmaival kapcsolatban, talán érdemes arról is beszélni egy kicsit.

A célunk a Jaynes-Cummings modell levezetése, ami véleményem szerint az egyik legszebb elméleti (és kísérleti) fizikai eredmény.
Lényegében csak a kvantummechanika és elektrodinamika ismeretében, tisztán gondolkodással el tudunk jutni egy olyan modellhez, ami páratlanul egyszerű, szemléletformáló, és a hétköznapi képünktől elég távol esik, ugyanakkor kísérletileg "közvetlenül" leellenőrizhető.

Arra persze nincs lehetőség hogy csakugyan teljes matematikai precizitással jussunk el a célig, de talán a feladatok megoldásai utólag is megkönnyítik a megértést.

Lényegében a következő lépcsőkre gondoltam:

-Lagrange-formalizmus, harmonikus oszcillátor.
-Hamilton-formalizmus, harmonikus oszcillátor.
-Hamilton-Jacobi egyenlet és Schrödinger-egyenlet VAGY - Poisson-zárójelek és Heisenberg-kép.
-Ismerkedés a kvantummechanikával
-Kvantummechanikai harmonikus oszcillátor.
-A harmonikus oszcillátor koherens állapota.
-Az elektromágneses mező kvantálása.
-Fotonszám-sajátállapotok, elektromágneses sugárzások.
-Jaynes-Cummings modell és következményei.


Egy ideig el fog tartani, mindenesetre az első kérdésem, hogy ki tudná a Lagrange-formalizmust röviden összefoglalni?
(és persze az illetőt kérem hogy tegye meg.)

[Macska Bonifác]

https://www.google.hu/search?q=lagrange+mechanika

Az itt található első pár találattal mi a baj?
(érdekes hogy a https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics -nak nincs magyar megfelelője, a https://hu.wikipedia.org/wiki/Lagrange-függvény elég gyenge)

[G.Á]

Az itt található első pár találattal mi a baj?

Valószínüleg semmi.

[Sanyi_Laci]

első kérdésem, hogy ki tudná a Lagrange-formalizmust röviden összefoglalni?

Na jó, engem ez a téma érdekel, úgyhogy megnyitom az ülést.
Erre a kérdésre jobb lenne, ha valaki ideológiailag képzettebb gátőr válaszolna, rám ez csak úgy-ahogy rámragadt, nem tanultam rendesen. Ez nem szokott feltétlen baj lenni, ha elmélyítettem a tudásom, de itt még ez nem történt meg. Sőt, most még csak fel sem frissítettem az eddigi tudásomat sem, de ki szeretném ugrasztani a nyulat a bokorból, elkezdeni kibontani a kérdést.

Szóval, fel kell írni a Lagrange függvényt. Ez egy energia dimenziójú valami, ami a mindenféle "általánosított koordinátákból" áll, és ezek deriváltjaiból. Meg ami még kell, potenciálok, kölcsönhatási tagok, meg minden. Ez a függvény szimmetrikus kell legyen a rendszer szimmetriáira, de ez csak pongyolán igaz, mert igazából nem a Lagrange-nak, hanem az Euler-Lagrangenak kell szimmetrikusnak lennie.
A Lagrange-függvény felírásának művészetét valaki elmesélhetné, akár a matematikai offtopikot is nyithatnánk rá...

Na, ha van a Lagrange függvényünk, akkor képezünk egy "hatás" nevű mennyiséget: [Renderelés ... S=\int Ldt]S=\int Ldt. Ez energia*idő dimenziójú. (Sass Balázzsal annak idején a Gólyavár Kupán hatáskeresztmetszetet mértünk, amit én nyertem meg. Hógolyóval kellett dobálni ezt-azt. )
Ezek után már könnyű dolgunk van, meg kell variálni kicsit a "pályát". [Renderelés ... \delta S]\delta S-t kell számolni. És az a fizikailag (csodálatos és varázslatos módon a) helyes pálya mindenre, áltreltől kvantumig, ha [Renderelés ... \delta S =0]\delta S =0. Ez egyébként tényleg varázslatos és mély értelmű, majd eljutunk odáig is...

Ennek a matematikai oldala olyan, mint a határértékszámítás deriváltakkal, csak kicsit más. Variációszámításnak hívják.

Ezt felírva jutunk az Euler-Lagrange egyenlethez, aminek a megoldásai a rendszer mozgástörvényei. Kovariánsak és helyesek, meg minden. És az áltreltől az összes kvantum-elméletig teljesen tökéletesen alkalmazhatóak, szóval igencsak mély értelme van ennek. Amit matematikai precizitással meg szeretnék érteni, mert ha senki más, akkor valakinek csak meg kell csinálnia a QG-t, nemdebár? És ahhoz egészen biztosan ezen keresztül vezet az út.

[Zsolt68]

első kérdésem, hogy ki tudná a Lagrange-formalizmust röviden összefoglalni?

Na jó, engem ez a téma érdekel, úgyhogy megnyitom az ülést.

Susskind bevezető előadását javaslom. Teljesen kezdő szinten meg lehet érteni.
Kikeresem a linket...
https://youtu.be/3YARPNZrcIY?list=PLQrxduI9Pds1fm91Dmn8x1lo-O_kpZGk8&t=1042

[EPÉ]

Nos a keresett gátőr az biztos nem én vagyok viszont a gyorstalpalót meg próbálom be indítani
Kísérletet teszek a következőkben a Lagrange mechanika rövid ismertetésére miközben megoldom egy gömbszimmetrikus harmonikus potenciálban mozgó test mozgását (én erre gondoltam harmonikus oszcillátor alatt). A megoldás során nem foglalkozok olyan kérdésekkel hogy milyen kölcsönhatás okozza a mozgást továbbá a klasszikus mechanika keretein belül maradok.

Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben hogy általános koordinátákkal dolgozhatunk ezzel egy a feladatunkhoz jobban illeszkedő koordinátarendszerből tudunk számolni. Ezen feladatban nincsenek bonyolult kényszerek, de általában ezek a kényszerek megfelelő koordinátázás esetén automatikusan teljesülnek. A megmaradási tételeket nem kell külön felsorolnunk hanem szépen ki fognak jönni ha érvényesek.

Elsőként ismerkedjünk meg magával a variációs elvvel ennek alakja [Renderelés ... S[t] = \int^{t_1}_{t_2} L dt]S[t] = \int^{t_1}_{t_2} L dt itt [Renderelés ... L]L a Lagrange függvény ami általában az általános koordináták és ezek idő szerinti deriváltjaiktól továbbá az időtől függ. A feladatok megoldása szempontjából fontos tudni magát a mozgás egyenletet ezt úgy kapjuk ha az [Renderelés ... S[t]]S[t] -nek meg keressük az extrémumát (minimum maximum inflexiós pont) ezt az Eulet-Lagrange egyenlet szolgáltatja melynek alakja [math]\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0 (az általános koordinátákat [math]q-val szokták jelölni) a feladatunkban a Lagrange függvény [Renderelés ... L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)]L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2) Descartes koordinátákban, ezt behelyettesítve az E-L egyenletbe az x y z irányokban azonos kör frekvenciájú harmonikus rezgőmozgás egyenletét kapjuk [Renderelés ... \sqrt{\frac{k}{m}}]\sqrt{\frac{k}{m}} körfrekvenciával ahogy annak lennie is kell ebből következik hogy a pályák ellipszisek. Sajnos ezen példán szerintem nem érződik a formalizmus erőssége mivel ezt a Newton törvényekből is igazán hamar megkaphatjuk.

[Sanyi_Laci]

Jó, ez így jó meg minden, de nem látom a filozófiát.
Egy csomó mindent kívülről plántálunk bele. A mozgási energiát, a helyzeti energiát (biztos, hogy jó az a tag, amit írtál??? ).
Szóval ezt így én is tudom, meg szabad részecskét is tudok, potenciáltérben lévő részecskét is tudok, ha nagyon megerőltetem magam még egyebeket is tudok, de valahogy nem érzem a filozófiát.
Hogy nagyon elemei dolgok felírásából jönnének ki a nagy dolgok.
Mert itt konkrétan beleírtuk a newtoni mozgási és a potenciális energiát, KÍVÜLRŐL. Na de belülről, a dolog elemi belső természetéből ezt hogyan építjük fel? Mi a filozófia a legkevesebb külső adat beplántálásával?

[G.Á]

Na, ha van a Lagrange függvényünk, akkor képezünk egy "hatás" nevű mennyiséget

Rossz a sorrend.

Az egész Lagrange-formalizmus mögött az úgynevezett "legkisebb hatás elve" van. Ennek az különlegessége hogy egyike a nagyon kevés olyan eredménynek, ami lényegében filozofálgatásból született. (Nem teljesen, de végülis ez nem hazugság)

A következőre érdemes gondolni:
1)Fogok egy kicsiny labdát, és elengedem egy meghatározott helyen és meghatározott pillanatban.
2) Homok megy a szemembe, ezért ideiglenesen becsukom azt.
3) Hallom a labda koppanását, ezért kinyitom a szememet és leállítom a stoppert.

Elvileg tehát azt tudom hogy a labda [Renderelés ... t_1]t_1 pillanatban [Renderelés ... r(t_1)]r(t_1) helyen, [Renderelés ... t_2]t_2 pillanatban [Renderelés ... r(t_2)]r(t_2) helyen van.
Ha igaz az, hogy a valóság független a megfigyelésünktől (a kidőlő fa akkor is csattan ha senki sem hallja), akkor csakis egyféleképpen történhetett a labda mozgása a [Renderelés ... t_1 , t_2]t_1 , t_2 időpontok között.

Na, most jön az ötlet: Ha a valódi trajektória csak egyféle lehet, akkor kitüntetett az összes lehetséges trajektóriák halmazából.

Csendben mondom, hogy impliciten feltesszük, hogy a trajektóriák egyáltalán léteznek, folytonosanak...stb.

Mit jelent, az hogy egy trajektória kitüntetett? Jelen esetben azt, hogy lehet a trajektóriához valamilyen fizikai tartalommal bíró skalárt rendelni. Illetve ezt anélkül is lehet,de ha a trajektória kitüntetett, akkor ez a skalár, amit a továbbiakban hatás-nak nevezünk, szintén kitüntetett.
Ez azt a viszonylag szerényebb jelentést hordozza, hogy a hatás extremális, vagyis ha egy infinitézimális variációt adunk a trajektóriához (A kezdő és végpontokon, és az időpontokon nem változtathatunk!), akkor a hatás elsőrendű variációja eltűnik.

Rendben van, ez a legkisebb hatás elve, de mit is jelent ez a fizikai tartalmú skalár, amit egy trajektóriához rendelünk?
Mint kiderül, ez egy, a trajektória mentén értelmezett idő szerinti integrálás.

Azért idő szerinti, mert az idő klasszikus mechanikában kitüntetett, a klasszikus térelméleteknél téridő-tartományokon kell integrálni.
Ez így eléggé kézlengetéses magyarázat, de most nekünk elegendő lesz.

Van viszont egy nagyon ritkán tárgyalt aspektus is, amiről érdemes beszélni!

Tehát integrálunk valamilyen függvényt az idő szerint, a trajektória mentén. Oké, de milyen ez a függvény?
Először is, van neve: Ez a Lagrange-függvény.
Ha bármilyen fizikai tartalma van, akkor a legalapvetőbb mennyiségektől kell hogy függhessen, vagyis lehessen az időnek, és tér-koordinátáknak bármilyen explicit függvénye.
De nem csak ezeknek, hanem a sebességeknek is van fizikai jelentése! És a gyorsulásoknak és n-edrendű deriváltaknak is.

Sajnos a tapasztalatainkat csak akkor kapjuk vissza, ha lekorlátozzuk a Lagrange-függvényt a téridő-koordináták, illetve a sebességek explicit függvényére.
Ez azzal is kapcsolatos hogy a Newton-egyenlet másodrendű, a sebességek és koordináták szabadon megválaszthatóak, vagyis hogy maguk a vonatkoztatási rendszerek, csak elsőrendű deriváltakig (sebességek) ekvivalensek egymással fizikailag.

Ez azonban logikailag nem következik sehonnan! És ha valóban feltesszük hogy n-edrendű deriváltaknak is explicit függvénye a Lagrange-függvény, akkor az Euler-Lagrange egyenletek helyett valami teljesen más, magasabbrendű egyenletet kapunk, néha nehezen interpretálható megoldásokkal.

Ennek ellenére néha előkerülnek ilyen magasabbrendű Lagrange-függvények, pl az ált.rel. kiterjesztési kísérletekben.
Egy másik, nagyon érdekes, és ideiglenesen felkapott alkalmazás a kvantumtérelméletek oldaláról jelent meg.
Ott ugyanis ekkor létezik olyan megoldás, amely során kvázi a "semmiből" spontán anyag-antianyag párok sokasága jelenik meg, ezt egykor az ősrobbanás magyarázatára is megpróbálták ráhúzni.
Ez az Ostrogradskij-instabilitásnak nevezett jelenséggel kapcsolatos, később visszatérhetünk rá máshol.

Mindenesetre az Euler-Lagrange egyenlet szépen ki tud jönni, ha feltételezzük hogy a Lagrange-egyenlet tényleg csak az első deriváltakat tartalmazza.

Még néhány aprósággal érdemes tisztában lenni, de ha ez érthető, akkor már jó úton járunk.

[EPÉ]

Mert itt konkrétan beleírtuk a newtoni mozgási és a potenciális energiát, KÍVÜLRŐL.

Igen ez így történt mivel az hogy mit nevezünk harmonikus oszcillátornak azt végső soron kívülről kell majd be tenni viszont nem ilyen módon kellett volna. Érdemes lenne ennek a Lagrange függvénynek nevezett dolognak bizonyos általános tulajdonságait meghatározni és először össze kalapálni a fizikáját ezen a szinten.

Nekem ez a kéz lengetős magyarázat kevés és a kérdés is érdekelne mivel indokolható hogy így számoljuk ki ezt a skalár mennyiséget ha az idő a mechanikában kitüntetett abszolút idő helyett a mozgó test sajátidejére végeznénk az integrálást akkor mindenki ugyan azt kapná mivel a mozgó test saját ideje mindenki számára kitüntetett.

[Zsolt68]

ideológiailag képzettebb gátőr

"Az élet nem habostorta."

Több neve is van: Lagrange formalizmus, variáció elv, legkisebb hatás elve.

Van egy trajektória (elsősorban a klasszikus fizikán belül), aminek a két végpontja rögzített.
A hatás akkor a legkisebb, ha a trajektória minden pontjában minimális. Ezt kell kiszámolni.
A trajektóriát a koordináták és azok deriváltjai adják.
[math]x_k(t) és [math]\dot{x}_k(t)

Fogunk egy bizonyos függvényt, és idő szerint integráljuk a két végpont között.
[Renderelés ... A(x,\dot{x}) = \Sigma \int_{t1}^{t2} \mathscr{L}(x,\dot{x}) dt]A(x,\dot{x}) = \Sigma \int_{t1}^{t2} \mathscr{L}(x,\dot{x}) dt

Tegyük fel, hogy ismerjük a megoldást. Adjunk hozzá egy tetszőleges függvényt, amit megszorzunk egy tetszőleges [math]\alpha számmal.
[Renderelés ... A(\alpha) = A(x,\dot{x}) + \alpha \cdot f(x,\dot{x})]A(\alpha) = A(x,\dot{x}) + \alpha \cdot f(x,\dot{x})
Ekkor a hatást felírhatjuk [math]\alpha függvényében. Aztán differenciáljuk a koordináták és a sebességek szerint.
(A szummázást el is hagyhatjuk, mert ha minden tagra teljesül, akkor az összegre is teljesül.)
[Renderelés ... \frac{dA}{dx_i}=0]\frac{dA}{dx_i}=0 és [Renderelés ... \frac{dA}{d \dot{x_i}}=0]\frac{dA}{d \dot{x_i}}=0
Utóbbiban [Renderelés ... \dot{f}]\dot{f} fog szerepelni, ezért felhasználunk egy segéd tételt:
[Renderelés ... F = f \cdot g]F = f \cdot g
[Renderelés ... \dot{F} = \dot{f} \cdot g + f \cdot \dot{g}]\dot{F} = \dot{f} \cdot g + f \cdot \dot{g}
Az a kikötés, hogy a végpontokban a szorzat nulla, és ekkor
[Renderelés ... \int \dot{f} \cdot g = -\int f \cdot \dot{g}]\int \dot{f} \cdot g = -\int f \cdot \dot{g}

Visszahelyettesítve:
[Renderelés ... \frac{d \mathscr{L}}{dx_i} - \frac{d}{dt} \frac{d \mathscr{L}}{d \dot{x_i}} = 0]\frac{d \mathscr{L}}{dx_i} - \frac{d}{dt} \frac{d \mathscr{L}}{d \dot{x_i}} = 0
Hát aki erre rájött, az nagyon ért hozzá.

Az viszont számomra nem világos, hogy miért a kinetikus energia és a potenciális energia adja a Lagrange függvényt.
[Renderelés ... \mathscr{L} = T - U]\mathscr{L} = T - U
Nem az energiák összege, hanem a különbségük.

----------

Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben

Newton nem abban a formában találta ki a mechanikát, ahogy azt a legtöbb helyen tanítják.
Egyébként a Landau-Lifsic első kötete pont ezzel kezdődik. Első olvasásra egy kukkot sem értettem belőle. Trajektóriákról nem is hallottam előtte.

Ha igaz az, hogy a valóság független a megfigyelésünktől (a kidőlő fa akkor is csattan ha senki sem hallja)

Tagadod a koppenhágai értelmezést?

Ha a valódi trajektória csak egyféle lehet, akkor kitüntetett az összes lehetséges trajektóriák halmazából.

Nem feltétlenül.
A számításnál elhagytuk a szummázást, mert ha minden tag nulla, akkor az összegük is nulla.
Matematikailag ez nem teljes. Lehet az összeg úgy is nulla, ha egyik tag sem nulla.
(Szerintem ezért tud átmenni az elektron két résen egyszerre.)

Csendben mondom, hogy impliciten feltesszük, hogy a trajektóriák egyáltalán léteznek, folytonosanak...stb.

És mi van a Rieman szerint nem integrálható függvényekkel? Állítólag ez a formalizmus a kvantum jelenségekre is alkalmazható. A határozatlansági reláció ellenére. Ennek nagyon mély értelme van akkor.