Gyorstalpaló a Jaynes-Cummings modellig

[G.Á]

Mivel nagyon sok félreértéssel találkozik az ember a QED fogalmaival kapcsolatban, talán érdemes arról is beszélni egy kicsit.

A célunk a Jaynes-Cummings modell levezetése, ami véleményem szerint az egyik legszebb elméleti (és kísérleti) fizikai eredmény.
Lényegében csak a kvantummechanika és elektrodinamika ismeretében, tisztán gondolkodással el tudunk jutni egy olyan modellhez, ami páratlanul egyszerű, szemléletformáló, és a hétköznapi képünktől elég távol esik, ugyanakkor kísérletileg "közvetlenül" leellenőrizhető.

Arra persze nincs lehetőség hogy csakugyan teljes matematikai precizitással jussunk el a célig, de talán a feladatok megoldásai utólag is megkönnyítik a megértést.

Lényegében a következő lépcsőkre gondoltam:

-Lagrange-formalizmus, harmonikus oszcillátor.
-Hamilton-formalizmus, harmonikus oszcillátor.
-Hamilton-Jacobi egyenlet és Schrödinger-egyenlet VAGY - Poisson-zárójelek és Heisenberg-kép.
-Ismerkedés a kvantummechanikával
-Kvantummechanikai harmonikus oszcillátor.
-A harmonikus oszcillátor koherens állapota.
-Az elektromágneses mező kvantálása.
-Fotonszám-sajátállapotok, elektromágneses sugárzások.
-Jaynes-Cummings modell és következményei.


Egy ideig el fog tartani, mindenesetre az első kérdésem, hogy ki tudná a Lagrange-formalizmust röviden összefoglalni?
(és persze az illetőt kérem hogy tegye meg.)

[Macska Bonifác]

https://www.google.hu/search?q=lagrange+mechanika

Az itt található első pár találattal mi a baj?
(érdekes hogy a https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics -nak nincs magyar megfelelője, a https://hu.wikipedia.org/wiki/Lagrange-függvény elég gyenge)

[G.Á]

Az itt található első pár találattal mi a baj?

Valószínüleg semmi.

[Zsolt68]

első kérdésem, hogy ki tudná a Lagrange-formalizmust röviden összefoglalni?

Na jó, engem ez a téma érdekel, úgyhogy megnyitom az ülést.

Susskind bevezető előadását javaslom. Teljesen kezdő szinten meg lehet érteni.
Kikeresem a linket...
https://youtu.be/3YARPNZrcIY?list=PLQrxduI9Pds1fm91Dmn8x1lo-O_kpZGk8&t=1042

[EPÉ]

Nos a keresett gátőr az biztos nem én vagyok viszont a gyorstalpalót meg próbálom be indítani
Kísérletet teszek a következőkben a Lagrange mechanika rövid ismertetésére miközben megoldom egy gömbszimmetrikus harmonikus potenciálban mozgó test mozgását (én erre gondoltam harmonikus oszcillátor alatt). A megoldás során nem foglalkozok olyan kérdésekkel hogy milyen kölcsönhatás okozza a mozgást továbbá a klasszikus mechanika keretein belül maradok.

Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben hogy általános koordinátákkal dolgozhatunk ezzel egy a feladatunkhoz jobban illeszkedő koordinátarendszerből tudunk számolni. Ezen feladatban nincsenek bonyolult kényszerek, de általában ezek a kényszerek megfelelő koordinátázás esetén automatikusan teljesülnek. A megmaradási tételeket nem kell külön felsorolnunk hanem szépen ki fognak jönni ha érvényesek.

Elsőként ismerkedjünk meg magával a variációs elvvel ennek alakja [Renderelés ... S[t] = \int^{t_1}_{t_2} L dt]S[t] = \int^{t_1}_{t_2} L dt itt [Renderelés ... L]L a Lagrange függvény ami általában az általános koordináták és ezek idő szerinti deriváltjaiktól továbbá az időtől függ. A feladatok megoldása szempontjából fontos tudni magát a mozgás egyenletet ezt úgy kapjuk ha az [Renderelés ... S[t]]S[t] -nek meg keressük az extrémumát (minimum maximum inflexiós pont) ezt az Eulet-Lagrange egyenlet szolgáltatja melynek alakja [math]\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0 (az általános koordinátákat [math]q-val szokták jelölni) a feladatunkban a Lagrange függvény [Renderelés ... L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)]L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2) Descartes koordinátákban, ezt behelyettesítve az E-L egyenletbe az x y z irányokban azonos kör frekvenciájú harmonikus rezgőmozgás egyenletét kapjuk [Renderelés ... \sqrt{\frac{k}{m}}]\sqrt{\frac{k}{m}} körfrekvenciával ahogy annak lennie is kell ebből következik hogy a pályák ellipszisek. Sajnos ezen példán szerintem nem érződik a formalizmus erőssége mivel ezt a Newton törvényekből is igazán hamar megkaphatjuk.

[G.Á]

Na, ha van a Lagrange függvényünk, akkor képezünk egy "hatás" nevű mennyiséget

Rossz a sorrend.

Az egész Lagrange-formalizmus mögött az úgynevezett "legkisebb hatás elve" van. Ennek az különlegessége hogy egyike a nagyon kevés olyan eredménynek, ami lényegében filozofálgatásból született. (Nem teljesen, de végülis ez nem hazugság)

A következőre érdemes gondolni:
1)Fogok egy kicsiny labdát, és elengedem egy meghatározott helyen és meghatározott pillanatban.
2) Homok megy a szemembe, ezért ideiglenesen becsukom azt.
3) Hallom a labda koppanását, ezért kinyitom a szememet és leállítom a stoppert.

Elvileg tehát azt tudom hogy a labda [Renderelés ... t_1]t_1 pillanatban [Renderelés ... r(t_1)]r(t_1) helyen, [Renderelés ... t_2]t_2 pillanatban [Renderelés ... r(t_2)]r(t_2) helyen van.
Ha igaz az, hogy a valóság független a megfigyelésünktől (a kidőlő fa akkor is csattan ha senki sem hallja), akkor csakis egyféleképpen történhetett a labda mozgása a [Renderelés ... t_1 , t_2]t_1 , t_2 időpontok között.

Na, most jön az ötlet: Ha a valódi trajektória csak egyféle lehet, akkor kitüntetett az összes lehetséges trajektóriák halmazából.

Csendben mondom, hogy impliciten feltesszük, hogy a trajektóriák egyáltalán léteznek, folytonosanak...stb.

Mit jelent, az hogy egy trajektória kitüntetett? Jelen esetben azt, hogy lehet a trajektóriához valamilyen fizikai tartalommal bíró skalárt rendelni. Illetve ezt anélkül is lehet,de ha a trajektória kitüntetett, akkor ez a skalár, amit a továbbiakban hatás-nak nevezünk, szintén kitüntetett.
Ez azt a viszonylag szerényebb jelentést hordozza, hogy a hatás extremális, vagyis ha egy infinitézimális variációt adunk a trajektóriához (A kezdő és végpontokon, és az időpontokon nem változtathatunk!), akkor a hatás elsőrendű variációja eltűnik.

Rendben van, ez a legkisebb hatás elve, de mit is jelent ez a fizikai tartalmú skalár, amit egy trajektóriához rendelünk?
Mint kiderül, ez egy, a trajektória mentén értelmezett idő szerinti integrálás.

Azért idő szerinti, mert az idő klasszikus mechanikában kitüntetett, a klasszikus térelméleteknél téridő-tartományokon kell integrálni.
Ez így eléggé kézlengetéses magyarázat, de most nekünk elegendő lesz.

Van viszont egy nagyon ritkán tárgyalt aspektus is, amiről érdemes beszélni!

Tehát integrálunk valamilyen függvényt az idő szerint, a trajektória mentén. Oké, de milyen ez a függvény?
Először is, van neve: Ez a Lagrange-függvény.
Ha bármilyen fizikai tartalma van, akkor a legalapvetőbb mennyiségektől kell hogy függhessen, vagyis lehessen az időnek, és tér-koordinátáknak bármilyen explicit függvénye.
De nem csak ezeknek, hanem a sebességeknek is van fizikai jelentése! És a gyorsulásoknak és n-edrendű deriváltaknak is.

Sajnos a tapasztalatainkat csak akkor kapjuk vissza, ha lekorlátozzuk a Lagrange-függvényt a téridő-koordináták, illetve a sebességek explicit függvényére.
Ez azzal is kapcsolatos hogy a Newton-egyenlet másodrendű, a sebességek és koordináták szabadon megválaszthatóak, vagyis hogy maguk a vonatkoztatási rendszerek, csak elsőrendű deriváltakig (sebességek) ekvivalensek egymással fizikailag.

Ez azonban logikailag nem következik sehonnan! És ha valóban feltesszük hogy n-edrendű deriváltaknak is explicit függvénye a Lagrange-függvény, akkor az Euler-Lagrange egyenletek helyett valami teljesen más, magasabbrendű egyenletet kapunk, néha nehezen interpretálható megoldásokkal.

Ennek ellenére néha előkerülnek ilyen magasabbrendű Lagrange-függvények, pl az ált.rel. kiterjesztési kísérletekben.
Egy másik, nagyon érdekes, és ideiglenesen felkapott alkalmazás a kvantumtérelméletek oldaláról jelent meg.
Ott ugyanis ekkor létezik olyan megoldás, amely során kvázi a "semmiből" spontán anyag-antianyag párok sokasága jelenik meg, ezt egykor az ősrobbanás magyarázatára is megpróbálták ráhúzni.
Ez az Ostrogradskij-instabilitásnak nevezett jelenséggel kapcsolatos, később visszatérhetünk rá máshol.

Mindenesetre az Euler-Lagrange egyenlet szépen ki tud jönni, ha feltételezzük hogy a Lagrange-egyenlet tényleg csak az első deriváltakat tartalmazza.

Még néhány aprósággal érdemes tisztában lenni, de ha ez érthető, akkor már jó úton járunk.

[EPÉ]

Mert itt konkrétan beleírtuk a newtoni mozgási és a potenciális energiát, KÍVÜLRŐL.

Igen ez így történt mivel az hogy mit nevezünk harmonikus oszcillátornak azt végső soron kívülről kell majd be tenni viszont nem ilyen módon kellett volna. Érdemes lenne ennek a Lagrange függvénynek nevezett dolognak bizonyos általános tulajdonságait meghatározni és először össze kalapálni a fizikáját ezen a szinten.

Nekem ez a kéz lengetős magyarázat kevés és a kérdés is érdekelne mivel indokolható hogy így számoljuk ki ezt a skalár mennyiséget ha az idő a mechanikában kitüntetett abszolút idő helyett a mozgó test sajátidejére végeznénk az integrálást akkor mindenki ugyan azt kapná mivel a mozgó test saját ideje mindenki számára kitüntetett.

[Zsolt68]

ideológiailag képzettebb gátőr

"Az élet nem habostorta."

Több neve is van: Lagrange formalizmus, variáció elv, legkisebb hatás elve.

Van egy trajektória (elsősorban a klasszikus fizikán belül), aminek a két végpontja rögzített.
A hatás akkor a legkisebb, ha a trajektória minden pontjában minimális. Ezt kell kiszámolni.
A trajektóriát a koordináták és azok deriváltjai adják.
[math]x_k(t) és [math]\dot{x}_k(t)

Fogunk egy bizonyos függvényt, és idő szerint integráljuk a két végpont között.
[Renderelés ... A(x,\dot{x}) = \Sigma \int_{t1}^{t2} \mathscr{L}(x,\dot{x}) dt]A(x,\dot{x}) = \Sigma \int_{t1}^{t2} \mathscr{L}(x,\dot{x}) dt

Tegyük fel, hogy ismerjük a megoldást. Adjunk hozzá egy tetszőleges függvényt, amit megszorzunk egy tetszőleges [math]\alpha számmal.
[Renderelés ... A(\alpha) = A(x,\dot{x}) + \alpha \cdot f(x,\dot{x})]A(\alpha) = A(x,\dot{x}) + \alpha \cdot f(x,\dot{x})
Ekkor a hatást felírhatjuk [math]\alpha függvényében. Aztán differenciáljuk a koordináták és a sebességek szerint.
(A szummázást el is hagyhatjuk, mert ha minden tagra teljesül, akkor az összegre is teljesül.)
[Renderelés ... \frac{dA}{dx_i}=0]\frac{dA}{dx_i}=0 és [Renderelés ... \frac{dA}{d \dot{x_i}}=0]\frac{dA}{d \dot{x_i}}=0
Utóbbiban [Renderelés ... \dot{f}]\dot{f} fog szerepelni, ezért felhasználunk egy segéd tételt:
[Renderelés ... F = f \cdot g]F = f \cdot g
[Renderelés ... \dot{F} = \dot{f} \cdot g + f \cdot \dot{g}]\dot{F} = \dot{f} \cdot g + f \cdot \dot{g}
Az a kikötés, hogy a végpontokban a szorzat nulla, és ekkor
[Renderelés ... \int \dot{f} \cdot g = -\int f \cdot \dot{g}]\int \dot{f} \cdot g = -\int f \cdot \dot{g}

Visszahelyettesítve:
[Renderelés ... \frac{d \mathscr{L}}{dx_i} - \frac{d}{dt} \frac{d \mathscr{L}}{d \dot{x_i}} = 0]\frac{d \mathscr{L}}{dx_i} - \frac{d}{dt} \frac{d \mathscr{L}}{d \dot{x_i}} = 0
Hát aki erre rájött, az nagyon ért hozzá.

Az viszont számomra nem világos, hogy miért a kinetikus energia és a potenciális energia adja a Lagrange függvényt.
[Renderelés ... \mathscr{L} = T - U]\mathscr{L} = T - U
Nem az energiák összege, hanem a különbségük.

----------

Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben

Newton nem abban a formában találta ki a mechanikát, ahogy azt a legtöbb helyen tanítják.
Egyébként a Landau-Lifsic első kötete pont ezzel kezdődik. Első olvasásra egy kukkot sem értettem belőle. Trajektóriákról nem is hallottam előtte.

Ha igaz az, hogy a valóság független a megfigyelésünktől (a kidőlő fa akkor is csattan ha senki sem hallja)

Tagadod a koppenhágai értelmezést?

Ha a valódi trajektória csak egyféle lehet, akkor kitüntetett az összes lehetséges trajektóriák halmazából.

Nem feltétlenül.
A számításnál elhagytuk a szummázást, mert ha minden tag nulla, akkor az összegük is nulla.
Matematikailag ez nem teljes. Lehet az összeg úgy is nulla, ha egyik tag sem nulla.
(Szerintem ezért tud átmenni az elektron két résen egyszerre.)

Csendben mondom, hogy impliciten feltesszük, hogy a trajektóriák egyáltalán léteznek, folytonosanak...stb.

És mi van a Rieman szerint nem integrálható függvényekkel? Állítólag ez a formalizmus a kvantum jelenségekre is alkalmazható. A határozatlansági reláció ellenére. Ennek nagyon mély értelme van akkor.

[G.Á]

Néhány dologban én is pontatlan voltam, úgyhogy kicsi pontosítások következnek:

Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben hogy általános koordinátákkal dolgozhatunk ezzel egy a feladatunkhoz jobban illeszkedő koordinátarendszerből tudunk számolni.

Ez is igaz, ugyanakkor az igazi előnye akkor nyilvánul meg, mikor soktest-kölcsönhatást akarunk számolni. N darab (pár)kölcsönható test esetén ugyanis csak a potenciális energiákat kell összegyűjteni, ami [Renderelés ... N-1\approx N]N-1\approx N-el skálázódik, míg ha közvetlenül a Newton-egyenleteket akarjuk felírni, akkor az erőkomponensek száma [Renderelés ... \dfrac{3N(N-1)}{2} \approx N^2]\dfrac{3N(N-1)}{2} \approx N^2, vagyis ennyi tagot kell összegyűjteni.

A megmaradási tételeket nem kell külön felsorolnunk hanem szépen ki fognak jönni ha érvényesek.

Ez szintén teljesen igaz, bár igazán csak a Hamilton-formalizmusnál láthatjuk majd ezt.

Ezen feladatban nincsenek bonyolult kényszerek, de általában ezek a kényszerek megfelelő koordinátázás esetén automatikusan teljesülnek.

A Lagrange-formalizmusban valódi előny még, hogy sokkal könnyebben számolhatóak a geometriai kényszererők, mint Newton-formalizmusban.

Mert itt konkrétan beleírtuk a newtoni mozgási és a potenciális energiát, KÍVÜLRŐL. Na de belülről, a dolog elemi belső természetéből ezt hogyan építjük fel? Mi a filozófia a legkevesebb külső adat beplántálásával?

A potenciális energiát mindig kívülről kell beletenni, ugyanakkor a mozgási energia alakjára van egy viszonylag egyszerű indoklás a Landau I.-ben. Erre mindjárt visszatérek.
Először viszont:

Azért idő szerinti, mert az idő klasszikus mechanikában kitüntetett, a klasszikus térelméleteknél téridő-tartományokon kell integrálni.

Bocsánat, ezt így teljesen rosszul írtam le. Bár igaz hogy a térelméletekben téridő-intervallumra integrálunk, de ennek semmi köze a fentiekhez. Relativisztikus pontmechanikában úgy írható a hatás, hogy azt arányosnak választjuk a világvonal-szakasz hosszával:

ahol persze nem magától értetődő az átírás, vagyis az hogy miért csak az első deriváltak szerepelnek, mégha utólagosan tudjuk is hogy így van.

Nemrelativisztikusan is arról van szó, hogy a világvonal mentén akarunk integrálni, azoknak a paramétere pedig a [Renderelés ... t]t idő.


Egy további igen fontos dolog, hogy fizikailag csak a hatás extrémumának van tartalma. Ha tehát a hatáshoz egyszerűen hozzáadunk egy konstansot, az nem befolyásolhatja azt, hogy melyik trajektória a kitüntetett.
Kérdés, hogy milyen tagot adhatunk hozzá a Lagrange-függvényhez, úgy hogy kiintegrálva az csak egy konstanst adjon a hatáshoz?
[Renderelés ... C=\int_{t_1}^{t_2} \delta L(\dot{q},q,t)]C=\int_{t_1}^{t_2} \delta L(\dot{q},q,t)
A válasz, hogy ekkor [math]\delta L(\dot{q},q,t) = \dfrac{d}{dt} f(q,t), vagyis hogy csak a koordináták és idő tetszőleges függvényének teljes idő szerinti deriváltja legyen. Ugyanis ekkor [math]\delta C= f(q_2,t_2)- f(q_1,t_1), ami kis variáláskor eltűnik, hiszen a végpontok téridőbeli-pontjai rögzítettek. A sebességek ezekben a pontokban már nem rögzítettek, ezért nem lehet a sebességeknek is tetszőleges függvénye az f!

Végső soron az, hogy ilyen tag tetszőlegesen hozzáadható a Lagrange-függvényhez, ekvivalens ugyanazzal, hogy az elektrodinamikában tetszőlegesen választhatjuk meg a mértéket.

Röviden az Euler-Lagrange egyenlet levezetése:








Ez akkor is igaz, ha a Lagrange-függvényben teljesen bizarr tagok fordulnak elő, és végső soron a Lagrange-függvények lényege az hogy mozgásegyenletek levezethetőek belőlük. Ugyanakkor (amennyire tudni lehet) nem minden létező másodfokú egyenlet vezethető le belőlük, ebben az értelemben a Lagrange-függvénnyel egyáltalán rendelkező rendszereket általában szűkebbnek tekintjük mint a Newton-egyenletekkel leírható rendszereket.
Fizikai értelemben ugyanakkor nincsen semmi kuriózum ameddig véges szabadsági fokú, konzervatív rendszereket vizsgálunk.


Na, most próbáljuk meg a fentiekből kihozni azt, hogy milyennek kell hogy legyen egy szabad részecske Lagrange-függvénye.
A következőket használjuk fel:
-A tér és idő homogén, vagyis nincs explicit hely- és időfüggés, [Renderelés ... L(\dot{q})]L(\dot{q}).
-A tér izotróp, vagyis fizikailag "nem számít" a sebesség iránya, alternatívaként, fizikailag ekvivalens, ha úgy vesszük fel hogy egyetlen térkoordináta-tengelyünket, hogy egybeessen a sebességgel.
-Van Galilei-invariancia, vagyis tetszőleges sebességgel eltolhatjuk a sebességvektorunkat, fizikailag ez nem számít. Ez azt jelenti, hogy a Lagrange-függvényhez ez csak egy teljes időderiváltat ad hozzá.

Nagyon tömören akkor juthatunk célhoz, ha elfogadjuk azt, hogy a Lagrange-függvényt írhatjuk úgy is, mint [Renderelés ... L(\dot{q}^2)]L(\dot{q}^2), hiszen a korábbiak alapján úgyis csak a sebesség nagysága bír közvetlen jelentéssel, megfelelő elforgatások után.

Végezzük el a sebességeltolást, egy kis "A"-val. Nem írom ki, de itt "A" és [Renderelés ... \dot{q}]\dot{q} is vektorok, a szorzások nyilván skaláris szorzásokat jelentenek. A kifejezést sorbafejtjük elsőrendig:
[Renderelés ... L((\dot{q}+A)^2)=L(\dot{q}^2+ 2\dot{q}A+A^2) \approx L(\dot{q}^2) + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2} 2\dot{q}A]L((\dot{q}+A)^2)=L(\dot{q}^2+ 2\dot{q}A+A^2) \approx L(\dot{q}^2) + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2} 2\dot{q}A.

A Galilei-invariancia miatt elvárás hogy [math]L((\dot{q}+A)^2) = L(\dot{q}^2) + \dfrac{d}{dt}f(x,t), és ez éppen akkor tud teljesülni, ha a második tag a [Renderelés ... \dot{q}]\dot{q}-ban elsőrendű, vagyis ha [Renderelés ... \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2}=C]\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2}=C.

Emiatt megkaphatjuk a szabad részecske megfelelő Lagrange-függvényét, [math]L= C \sum \dot{q}^2. A hagyományos jelöléseinket akkor kapjuk vissza ha [Renderelés ... C=m/2]C=m/2.

[Zsolt68]

Ez is igaz, ugyanakkor az igazi előnye akkor nyilvánul meg, mikor soktest-kölcsönhatást akarunk számolni.

Tudsz vele kölcsönhatást számolni?
A múltkor linkeltem egy előadást. Az hangzott el, hogy hatás-elméletek vannak, de nincs kölcsönhatás elmélet.
Vagy ez csak közelítő megoldás?