Néhány dologban én is pontatlan voltam, úgyhogy kicsi pontosítások következnek:
Ezen formalizmus nagy előnye a Newtoni mechanikával szemben hogy általános koordinátákkal dolgozhatunk ezzel egy a feladatunkhoz jobban illeszkedő koordinátarendszerből tudunk számolni.
Ez is igaz, ugyanakkor az igazi előnye akkor nyilvánul meg, mikor soktest-kölcsönhatást akarunk számolni. N darab (pár)kölcsönható test esetén ugyanis csak a potenciális energiákat kell összegyűjteni, ami
[Renderelés ... N-1\approx N]N-1\approx N-el skálázódik, míg ha közvetlenül a Newton-egyenleteket akarjuk felírni, akkor az erőkomponensek száma
[Renderelés ... \dfrac{3N(N-1)}{2} \approx N^2]\dfrac{3N(N-1)}{2} \approx N^2, vagyis ennyi tagot kell összegyűjteni.
A megmaradási tételeket nem kell külön felsorolnunk hanem szépen ki fognak jönni ha érvényesek.
Ez szintén teljesen igaz, bár igazán csak a Hamilton-formalizmusnál láthatjuk majd ezt.
Ezen feladatban nincsenek bonyolult kényszerek, de általában ezek a kényszerek megfelelő koordinátázás esetén automatikusan teljesülnek.
A Lagrange-formalizmusban valódi előny még, hogy sokkal könnyebben számolhatóak a geometriai kényszererők, mint Newton-formalizmusban.
Mert itt konkrétan beleírtuk a newtoni mozgási és a potenciális energiát, KÍVÜLRŐL. Na de belülről, a dolog elemi belső természetéből ezt hogyan építjük fel? Mi a filozófia a legkevesebb külső adat beplántálásával?
A potenciális energiát mindig kívülről kell beletenni, ugyanakkor a mozgási energia alakjára van egy viszonylag egyszerű indoklás a Landau I.-ben. Erre mindjárt visszatérek.
Először viszont:
Azért idő szerinti, mert az idő klasszikus mechanikában kitüntetett, a klasszikus térelméleteknél téridő-tartományokon kell integrálni.
Bocsánat, ezt így teljesen rosszul írtam le. Bár igaz hogy a térelméletekben téridő-intervallumra integrálunk, de ennek semmi köze a fentiekhez. Relativisztikus pontmechanikában úgy írható a hatás, hogy azt arányosnak választjuk a világvonal-szakasz hosszával:

ahol persze nem magától értetődő az átírás, vagyis az hogy miért csak az első deriváltak szerepelnek, mégha utólagosan tudjuk is hogy így van.
Nemrelativisztikusan is arról van szó, hogy a világvonal mentén akarunk integrálni, azoknak a paramétere pedig a
[Renderelés ... t]t idő.
Egy további igen fontos dolog, hogy fizikailag csak a hatás extrémumának van tartalma. Ha tehát a hatáshoz egyszerűen hozzáadunk egy konstansot, az nem befolyásolhatja azt, hogy melyik trajektória a kitüntetett.
Kérdés, hogy milyen tagot adhatunk hozzá a Lagrange-függvényhez, úgy hogy kiintegrálva az csak egy konstanst adjon a hatáshoz?
[Renderelés ... C=\int_{t_1}^{t_2} \delta L(\dot{q},q,t)]C=\int_{t_1}^{t_2} \delta L(\dot{q},q,t)A válasz, hogy ekkor
[math]\delta L(\dot{q},q,t) = \dfrac{d}{dt} f(q,t), vagyis hogy csak a koordináták és idő tetszőleges függvényének teljes idő szerinti deriváltja legyen. Ugyanis ekkor
[math]\delta C= f(q_2,t_2)- f(q_1,t_1), ami kis variáláskor eltűnik, hiszen a végpontok téridőbeli-pontjai rögzítettek. A sebességek ezekben a pontokban már nem rögzítettek, ezért nem lehet a sebességeknek is tetszőleges függvénye az f!
Végső soron az, hogy ilyen tag tetszőlegesen hozzáadható a Lagrange-függvényhez, ekvivalens ugyanazzal, hogy az elektrodinamikában tetszőlegesen választhatjuk meg a mértéket.
Röviden az Euler-Lagrange egyenlet levezetése:






Ez akkor is igaz, ha a Lagrange-függvényben teljesen bizarr tagok fordulnak elő, és végső soron a Lagrange-függvények lényege az hogy mozgásegyenletek levezethetőek belőlük. Ugyanakkor (amennyire tudni lehet) nem minden létező másodfokú egyenlet vezethető le belőlük, ebben az értelemben a Lagrange-függvénnyel egyáltalán rendelkező rendszereket általában szűkebbnek tekintjük mint a Newton-egyenletekkel leírható rendszereket.
Fizikai értelemben ugyanakkor nincsen semmi kuriózum ameddig véges szabadsági fokú, konzervatív rendszereket vizsgálunk.
Na, most próbáljuk meg a fentiekből kihozni azt, hogy milyennek kell hogy legyen egy szabad részecske Lagrange-függvénye.
A következőket használjuk fel:
-A tér és idő homogén, vagyis nincs explicit hely- és időfüggés,
[Renderelés ... L(\dot{q})]L(\dot{q}).
-A tér izotróp, vagyis fizikailag "nem számít" a sebesség iránya, alternatívaként, fizikailag ekvivalens, ha úgy vesszük fel hogy egyetlen térkoordináta-tengelyünket, hogy egybeessen a sebességgel.
-Van Galilei-invariancia, vagyis tetszőleges sebességgel eltolhatjuk a sebességvektorunkat, fizikailag ez nem számít. Ez azt jelenti, hogy a Lagrange-függvényhez ez csak egy teljes időderiváltat ad hozzá.
Nagyon tömören akkor juthatunk célhoz, ha elfogadjuk azt, hogy a Lagrange-függvényt írhatjuk úgy is, mint
[Renderelés ... L(\dot{q}^2)]L(\dot{q}^2), hiszen a korábbiak alapján úgyis csak a sebesség nagysága bír közvetlen jelentéssel, megfelelő elforgatások után.
Végezzük el a sebességeltolást, egy kis "A"-val. Nem írom ki, de itt "A" és
[Renderelés ... \dot{q}]\dot{q} is vektorok, a szorzások nyilván skaláris szorzásokat jelentenek. A kifejezést sorbafejtjük elsőrendig:
[Renderelés ... L((\dot{q}+A)^2)=L(\dot{q}^2+ 2\dot{q}A+A^2) \approx L(\dot{q}^2) + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2} 2\dot{q}A]L((\dot{q}+A)^2)=L(\dot{q}^2+ 2\dot{q}A+A^2) \approx L(\dot{q}^2) + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2} 2\dot{q}A.
A Galilei-invariancia miatt elvárás hogy
[math]L((\dot{q}+A)^2) = L(\dot{q}^2) + \dfrac{d}{dt}f(x,t), és ez éppen akkor tud teljesülni, ha a második tag a
[Renderelés ... \dot{q}]\dot{q}-ban elsőrendű, vagyis ha
[Renderelés ... \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2}=C]\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^2}=C.
Emiatt megkaphatjuk a szabad részecske megfelelő Lagrange-függvényét,
[math]L= C \sum \dot{q}^2. A hagyományos jelöléseinket akkor kapjuk vissza ha
[Renderelés ... C=m/2]C=m/2.