Merre mutat a spin?

Feladatok illetve megoldásaik, az elme frissen tartására.

Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.01.28. 20:20

(A kvantummechanikához értő ínyencek számára)

Legyen [Renderelés ... (\alpha, \beta)] egy tetszőleges, egyre normált, két komponensű komplex vektor (azaz spinor)! Van-e olyan irány a 3 dimenziós térben, hogy ha a spinor által reprezentált feles spinnek az adott irányra eső vetületét mérjük meg (pl. egy Stern--Gerlach-berendezéssel), akkor 100 százalék valószínűséggel "felfelé" mutató spint kapunk?

Mi a helyzet egyes spin, és a neki megfelelő három komponensű komplex vektorok esetén? (Ezt az esetet nem kell részletesen végigszámolni, kvalitatív érvelés is elegendő.)

dgy

These users thanked the author dgy for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.01.28. 22:02

Ha jól értem, akkor a feles spin esetére elegendő abból kiindulni, ami a nemrég belinkelt http://xymarkus.web.elte.hu/Segedanyagok/Atomkvantum_ea/atomkvant-jegyzet.pdf jegyzetben olvasható.
Ez alapján az a kérdés, hogy tetszőleges [math] felírható-e valamilyen [Renderelés ... n] irányú spinmérés sajátállapotaként.

Végső soron ez arra vonatkozik, hogy ekvivalensen átírhatóak-e az állapotok [math]
[math] -ra.

Az első dolog amit érdemes megjegyezni, az hogy a vektorok fáziseltolása nem változtat a fizikailag közvetlenül mérhető mennyiségeken.
[math] -ból átválthatunk [math] .

Ez alapján a hagyományos koordinátarendszerünkben a [Renderelés ... \phi=a-b].
Ezenfelül [Renderelés ... |\alpha|^2 + |\beta|^2 =1], ami lehetővé teszi hogy trigonometrikus függvények alakjában írhassuk fel őket.
[Renderelés ... \theta = 2 \arccos(|\alpha|)]

Ugyanakkor még meg kellene vizsgálni az esetleges multiplicitásokat, és néhány egyéb részletet, amit itt most nem végzek el.

Félreérthetőségek miatt azonban érdemes megjegyezni, hogy az igazság egyenes ellentéte ha azt gondoljuk hogy ezek a spinsajátállapotok akármilyen "irányba mutatnak".
A szög és az impulzusmomentum kanonikusan konjugált mennyiségek, és az impulzusmomentum és spin sajátállapotok pont a legtávolabb állnak attól amit "jól orientált"-nak lehet nevezni.
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára G.Á 2018.01.29. 02:43-kor.
G.Á
 
Hozzászólások: 1080
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 293 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2018.01.28. 23:30

Az említett jegyzet szerint az (1,0) felfelé, míg a (0,1) lefelé.
G.Á írta:Még nagyobb baj, és az igazság egyenes ellentéte ha azt gondoljuk hogy ezek a spinsajátállapotok "irányba mutatnak".
A hétköznapi életben azt tapasztaljuk, hogy egy makroszkopikus iránytű mutat valamilyen irányba. Amit ránézéssel megállapíthatunk.

Viszont amit az elektron spin művel, az számomra teljesen érthetetlen.
Persze nem tudjuk megnézni, hogy merre mutat. Nem lehet vasreszelékkel körbeszórni, hogy kirajzolja az erővonalakat.
Állítólag mindig csak valamelyik vetületét tudjuk mérni.
Viszont ha a különböző irányú mérések eredményét összeadjuk, akkor 100%-nál többet kapunk.

https://www.youtube.com/watch?v=0Eeuqh9QfNI
Zsolt68
 
Hozzászólások: 769
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 376 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.01.29. 11:53

A szög és az impulzusmomentum kanonikusan konjugált mennyiségek

Ez így kissé pongyola. Milyen "szög"?

Az impulzusmomentum adott tengelyre vett vetülete az ugyanezen tengely körüli forgásszögnek konjugált mennyisége, nem pedig a tengely beállását leíró szögeknek!

Ha egy adott állapotban egy rögzített irányú spinvetület mérését akárhányszor elvégezve mindig azt kapjuk, hogy a spin vetülete az adott irányba 1/2, és sohasem azt, hogy -1/2, akkor teljes joggal mondhatjuk azt, hogy a spin "ebbe az irányba mutat". Ennél okosabbat sem a klasszikus, sem a kvantummechanika nem tud mondani. (Más kérdés, hogy ha ugyanebben az állapotban más tengelyre vett vetületeket mérünk, akkor mit mond a két elmélet.) Ilyen értelemben ez a mérés eléggé megfelel a klasszikus elképzeléseinknek.

No és mi a helyzet az egyes spin (illetve a még nagyobb spinértékek) esetében?

dgy

These users thanked the author dgy for the post:
G.Á
Rating: 11.11%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.01.29. 17:01

Igen, teljesen igazad van, én írtam most hülyeséget. :(
Pontosabban egy, a spinnel kapcsolatos gyakori félreértést akartam volna tisztázni (pici golyó megy körpályán), de természetesen erről legfeljebb csak a pálya-impluzusmomentumoknál van értelme beszélni.
És persze ez itt amúgyis offtopik.
G.Á
 
Hozzászólások: 1080
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 293 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.01.31. 18:15

Mivel senki sem válaszolt, lelövöm a poént.

A feles spin esetét Ákos helyesen elemezte. Nézzük általánosan. Az S spint egy N=2S+1 komponensű komplex vektor adja meg. Vegyük ennek a komponenseinek az abszolút értékét, ez egy N komponensű valós vektor. Mivel a QM-ben a vektorokat 1-re normáljuk, az N db valós szám között fennáll 1 összefüggés - marad (N-1) valós paraméter (általában szögváltozókat használnak). Ha visszatérünk a komplexbe, mindegyik komponens kaphat még egy egységnyi abszolút értékű komplex szorzót, fázisfaktort. De a hullámfüggvények általános fázisinvarianciája miatt csak a komponensek relatív fázisa számít, ezért az egyik komponens önkényesen valósnak választható. A többi (N-1) komponens mindegyikének fázisfaktora egy valós szöget jelent. Így az N komponensű komplex egységvektor 2(N-1) db valós számmal jellemezhető. Az N=2S+1 összefüggés miatt ezt úgy is mondhatjuk, hogy az S spinhez tartozó hullámfüggvény megadásához 4S db valós szám kell. (S egész vagy félegész pozitív szám.)

S=1/2 esetén ez pont 2. E két paraméter egyértelműen kifejezhető a tengely beállását jelző két polárszöggel, vagy vice versa. Ezt a számolást írta le Ákos. Tehát adott (önkényes) kétkomponensű spinor 2 önkényes paraméteréből kifejezhető a tengelyirány két szöge. Ha jól csináljuk a paraméterezést, megkapjuk azt a tengelyirányt, amerre beállítva a mérőműszerünket 100 százalék bizonyossággal +1/2 értéket kapunk a spinvetületre. Így azt mondhatjuk, hogy a feles spin "ebbe az irányba mutat".

S=1 esetén a 3 komponensű komplex egységvektor megadásához már 4 valós paraméter kell. Pl:
[Renderelés ... \Psi(\theta,\psi,\alpha,\beta)=(\sin{\theta}\cos{\phi}\,e^{i\alpha}, \sin{\theta}\sin{\phi}\,e^{i\beta}, \cos{\theta})]

Ez a 4 valós paraméter már nem fejezhető ki a mérési irányt megadó két polárszöggel, fordítva meg még inkább, ezért csak kivételes esetekben (a négy paraméter közti speciális összefüggések teljesülése esetén) létezik olyan térbeli irány, amelybe a spinvetületet mérő műszert beállítva biztosan +1 értéket kapunk. Egy általános 3 komponensű komplex spinor esetén ilyen irány nem létezik. Az egyes spin tehát "nem mutat sehová".

Még nagyobb spinekre még rosszabb a helyzet.

Az az érdekes helyzet állt tehát elő, hogy a feles spin (minden furcsasága - pl hogy a spinor 360 fokos elfordulás után nem tér vissza önmagába, henem megszorzódik -1-gyel) ellenére alapszinten sokkal közelebb van a fizikai mennyiségekről alkotott klasszikus elképzeléseinkhez, mint akár az egyes, akár a magasabb spinek. Mert hogy a feles spin "mindig mutat valahová" (bár esetleg mi nem tudjuk, hogy hová). Az eredeti EPR cikk érvelése és szóhasználata szerint ebben az esetben "létezik a valóságnak egy eleme", azaz egy térbeli irány, amelynek segítségével interpretálhatjuk furcsa kvantumos tapasztalatainkat. Magasabb spin esetén ilyen irány, "a valóságnak ez az eleme" nem létezik.

Ez indított egyes fizikusokat arra a hipotézisre, hogy alapszinten igazából csak feles spinű részecskék léteznek, a többit ilyenekből kell összerakni. Az atommagok esetében ez az ötlet jól bevált: észleltek már 73/2 spinű atommagot, de tudjuk, hogy ez a spin a protonok és neutronok feles spinjeiből, valamint egymáshoz képesti pályamozgásuk impulzusmomentumából áll össze. Az 1952-ben Fermi által felfedezett 3/2 spinű Delta+ részecskéről meg később kiderült, hogy tulajdonképpen gerjesztett proton: ugyanabból a 3 db, feles spinű kvarkból áll, mint a proton, csak nem alapállapotban vannak, hanem "keringenek egymás körül". Hasonló a helyzet a többi nagyobb spinű részecskével.

A Standard részecskefizikai modell a feles spinű fermionok mellett az 1 spinű mértékbozonokat (pl a fotont és a gluonokat), valamint a 0 spinű Higgs-részecskét tekinti eleminek. Matematikailag könnyű ezeket "összerakni" két felesből (két felesből a kocsmában is sok minden kihozható...), csak épp olyan tisztességes dinamikai elmélet nincs, ami a tapasztalatatl egyezően megmagyarázná, hogyan is kötődik össze pl két neutrínó egy fotont alkotva... De nincs kizárva, hogy egyszer lesz ilyen elnélet.

Carl von Weizsa:cker, a neves német részecskefizikus (és filozófus) egész metalogikai elméletet kerített e köré a probléma köré. Szerinte a feles spin kétféle beállása az elemi kérdésekre adható kétféle választ képviseli (ma ezt úgy mondanánk: egy bit), ezt jelenítik meg az elemi részecskefizikai objektumok. Ezek kezelésére az SU(2) csoport való. Ennek legkisebb valós reprezentációja az SO(3) csoport, a háromdimenziós fizikai tér forgáscsoportja. Megvan tehát a válasz arra a régi kérdésre, miért háromdimenziós a tér: mert ezen lehet valósan ábrázolni az elemi alternatívákat (biteket)... :)

Ilyen messzire vezethet az az egyszerű kérdés, hogy "merre mutat a spin?".

dgy

These users thanked the author dgy for the post (total 3):
nyemiG.Áapi
Rating: 33.33%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2018.02.03. 02:07

dgy írta:Carl von Weizsa:cker, a neves német részecskefizikus (és filozófus) egész metalogikai elméletet kerített e köré a probléma köré. Szerinte a feles spin kétféle beállása az elemi kérdésekre adható kétféle választ képviseli (ma ezt úgy mondanánk: egy bit), ezt jelenítik meg az elemi részecskefizikai objektumok. Ezek kezelésére az SU(2) csoport való. Ennek legkisebb valós reprezentációja az SO(3) csoport, a háromdimenziós fizikai tér forgáscsoportja. Megvan tehát a válasz arra a régi kérdésre, miért háromdimenziós a tér: mert ezen lehet valósan ábrázolni az elemi alternatívákat (biteket)... :)


Ez most komoly, vagy valami vicc?
Most tényleg megmagyaráztuk, hogy miért érzékeljük 3 dimenziósnak a teret? Bocsánat, tavaly április óta kicsit leeresztett az agyam.
Most halál komolyan, van magyarázatunk arra, hogy miért 3 dimenziós a tér? Vagy ez csak poén volt?

Adjatok már egy olyan kvantumfizikai tankönyvet, mint a relelméletben a Szabó-Kerekes. Ahol van matek, de fel is építi tisztességesen és korrekten, hogy megtanulhassam.
Egészen félelmetes, amiket össszefilozofáltok.

A "túlvilág" kezdett érdekelni nagyon. A multiverzum, és az azok közötti utazás lehetősége.
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2339
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 249 times
Been thanked: 434 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: Ménes Dénes » 2018.02.03. 06:02

Montvay István
Relativisztikus kvantummechanika
Kézirat
1969
Avatar
Ménes Dénes
 
Hozzászólások: 46
Csatlakozott: 2018.01.03. 00:03
Tartózkodási hely: Rét
Has thanked: 0 time
Been thanked: 0 time
Név: Ménes Dénes

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: Macska Bonifác » 2018.02.04. 12:43

https://www.google.hu/search?q="Montvay+István"+"Relativisztikus+kvantummechanika"
Hát ez nem egy túl ismert könyv. De legalább a tartalomjegyzéke elérhető; például az [antikvárium.hu]-s adatlapján.
Illetve a könyvtárban is van belőle: http://aleph.elte.hu/F?func=find-b&request=Montvay+István

Én nézegettem a Gesztit, Feynmant, Landaut, Hraskót (ez utóbbi valamiért nincs a könyvtárban) lassan nem tudom hova odázni, és el kell kezdenem leülni és módszeresen végigvenni :cry:
Ez a Montvay milyen?
Macska Bonifác
 
Hozzászólások: 446
Csatlakozott: 2017.01.23. 05:30
Has thanked: 108 times
Been thanked: 41 times

Re: Merre mutat a spin?

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.02.04. 23:45

Véleményem szerint a kvantummechanikáról írt, talán egyetlen magyarul is olvasható, valóban precíz leírása Neumann János könyve.
Persze pont ugyanezen okból, didaktikailag nem a legszerencsésebb, és igazság szerint én is csak néhány, számomra releváns részét olvastam.
Bevezetés szempontjából szerintem Geszti Tamás tankönyve nagyon jó.

A kvantumtérelméletről, -olyan alapossággal mint a kvantummechanikáról- magyarul nem ismerek egy könyvet sem, de angolul sincs igazán, aminek az az oka, hogy jópár fundamentális kérdés nem tisztázott matematikailag precízen.
G.Á
 
Hozzászólások: 1080
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 293 times

Következő

Vissza: Rejtvények, feladványok

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 1 vendég