Maximálisan eltelt idő

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.03.22. 13:28

A speciális relativitáselmélet szerint egy mozgó űrhajóban lassaban múlik az idő. Az általános relativításelmélet
szerint viszont a gravitációs tér lassítja az idő múlását, tehát a Föld gravitációs kútjából kiemelkedő rakétában
az órák gyorsabban járnak. A Richard Feynmanról elnevezett lopakodó űrhajó azt a feladatot kapta, hogy földi
bázisáról sugárirányban felszállva földi idő szerint pontosan egy nap múlva térjen vissza ugyanoda úgy, hogy az
űrhajó órái a fizikailag lehetséges legtöbb eltelt időt mutassák. Hogyan kell a kapitánynak működtetnie a hajtóműveket,
ha teljesíteni akarja a feladatot? (A rakéta végig sugárirányban mozog, a Föld keringésétől és a légkör
zavaró hatásától tekintsünk el.)
Gnädig Péter (1996/2005-ös) Ortvay feladat
G.Á
 
Hozzászólások: 1050
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 285 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2018.03.22. 14:06

Nekem való feladat. :)

A Föld forgásától is tekintsünk el, vagy ne?

These users thanked the author Sanyi_Laci for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2313
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 247 times
Been thanked: 428 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.03.22. 14:50

A forgástól is el kell tekinteni. (Valószínűleg figyelmetlenségből írtunk forgás helyett keringést.)

Tényleg nagyon szép feladat.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: triasz » 2018.03.22. 18:46

:!:
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára triasz 2018.11.05. 22:35-kor.

These users thanked the author triasz for the post (total 2):
dgyZsolt68
Rating: 22.22%
 
triasz
 
Hozzászólások: 146
Csatlakozott: 2016.09.11. 21:36
Has thanked: 21 times
Been thanked: 9 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: Sanyi_Laci » 2018.03.25. 01:09

Nekem is ez volt a legelső gondolatom, és a válasz minden valószínűség szerint igaz is, de azért az indoklást én nem érzem kielégítőnek.

Két téridőpont között általában végtelen sok geodetikust húzhatok. Mindegyiknek más a sajátideje. Viszont mindegyik egy extrémum. Nem kielégítő az, hogy a geodetikus a maximum, és kész. Melyik geodetikus a végtelen sok közül? Az csak egy lokális extrémum, nem globális. Ráadásul lehet minimum, maximum és egyik sem: inflexiós pont. Csak lokális, kis variációkra igaz, hogy az első variáció eltűnik. Semmi globális következtetésre nem vezet. Persze, a Schw téridő elég "egyszerű", és kizártunk más geodetikusokat a függőleges hajításon kívül, tehát a válasz nagyon valószínűen igaz.

Azonkívül, kérdeztük, hogy járassuk a hajtóműveket. Feldobott kő, oké, de lassan dobjam, vagy durván gyorsítsam? Valószínű durván.

Na, majd egyszer kiszámolom, amúgyis kíváncsi vagyok arra, hogyan jön ennek az integrálnak a variációjába bele a gammák, és a geodetikus egyenlet hogy születik meg ezen az úton-módon.
Avatar
Sanyi_Laci
 
Hozzászólások: 2313
Csatlakozott: 2014.03.14. 00:24
Has thanked: 247 times
Been thanked: 428 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.03.25. 04:45

Az időszerű geodetikusok mindig lokális maximumok. Minimum nincs, csak infinum, ami nulla sajátidő lenne - ezt két c sebességű mozgásszakasszal lehetne elérni, de ez lehetetlen.

Nem igaz, hogy két téridő-pontot végtelen sok geodetikus köt össze! Általában véges sok, a legtöbbször csak egy.

A feladatot Feynman találta ki, pedagógiai céllal (ezért említettük meg a nevét a szövegben). Első pillantásra rémisztően nehéz - két nagyon bonyolult jelenség, a specreles időlassulás és a gravitációs "kékeltolódás" kompromisszumát kéne megtalálni, ami elég reménytelennek tűnik. Amikor feladta, többen megpróbálkoztak a számolással, és belefulladtak. Aztán megmutatta, hogy egy elemi fizikai ötlet hogyan segít - és hogy tulajdonképpen a természet megoldja helyettünk a problémát.

Ássunk mélyebbre. Feynman első és másodéves diákjai azért fulladtak bele a számolásba, mert nem tanultak variációszámítást. Ha tanultak volna, és felírják a feladat variációs integrálját, biztosan felismerték volna benne a görbült téridőbeli szabad mozgás problémáját.

A kezdeti gyorsításról: a feladat tulajdonképpen alulhatározott. Meg kellene adni az utasok által elviselhető maximális gyorsulást vagy valami hasonló korlátozást. Enélkül az a formális optimum, hogy a rakéta egy pillanat alatt felgyorsul a szükséges kezdősebességre. De ez már nem is rakéta, hanem Verne Holdra lőtt ágyúgolyója.

Tulajdonképpen nincs is számolnivaló. Az, hogy mekkora kezdősebesség kell egy pontosan egy napig tartó függőleges hajításhoz, elemi klasszikus mechanikai feladat, és pontosan csak numerikusan oldható meg. (Kb egy éve szerepelt is itt egy Absoluto Zérós feladatban.) Az áltreles megoldás csak a sokadik tizedesben különbözik ettől.

Az viszont tényleg tanulságos (és nem triviális) matematikai gyakorlat, hogy levezessük a sajátidő maximumáról szóló variációs elvből a geodetikus mozgásegyenletet.

Ennél csak az cifrább, ha megengedjük, hogy a gravitáció mellett más hatás, pl elektromágneses vagy skaláris erő is befolyásolja a mozgást. (Ez a levezetés nincs is benne a könyvekben.)

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 831 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.03.25. 12:18

Az, hogy mekkora kezdősebesség kell egy pontosan egy napig tartó függőleges hajításhoz, elemi klasszikus mechanikai feladat, és pontosan csak numerikusan oldható meg.

Én majdnem biztos vagyok benne, hogy ha elhagyjuk a bolygó forgását, akkor ki lehet számolni analitikusan is, a klasszikus mechanikai közelítésen belül.

Kérdésem, hogy vajon elfogadható-e a hasonló közelítésen alapuló numerikus számolás, ha a forgást nem hagyjuk el?
G.Á
 
Hozzászólások: 1050
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 285 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2018.03.25. 12:30

G.Á írta:Kérdésem, hogy vajon elfogadható-e a hasonló közelítésen alapuló numerikus számolás, ha a forgást nem hagyjuk el?
A forgásból adódó járulékot kimérték atomórával. Múltkor linkeltem erről L. Béla elm.fiz. előadását.
Két relülő megkerülte a Földet ellenkező irányban, a harmadik atomóra pedig a reptéren ketyegett.
A felvételről utólag kivágták azt a mondatot, ami az élő adásban elhangzott: a mérési pontosságon belül igazolták Einstein képletét, viszont az eltérés olyan kicsi, hogy jelenleg méréssel nem lehet különbséget tenni az alternatív elméletek között.
(Egy másik műsorban fizikusok arról beszéltek, hogy a Föld forgásának egyenletlensége jóval nagyobb ennél.)

Elárulhatnátok, hogy itt a sárgolyó kérges felszínén egy nap alatt mennyivel kevesebb időt mérnek az órák mint végtelen távolságra.
Zsolt68
 
Hozzászólások: 757
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 371 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: =^.^= » 2018.03.25. 12:47

G.Á írta:Én majdnem biztos vagyok benne, hogy ha elhagyjuk a bolygó forgását, akkor ki lehet számolni analitikusan is, a klasszikus mechanikai közelítésen belül.

Itt vannak az elnevezések (zárt, analitikus, satöbbi) (táblázat): https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-fo ... xpressions

Itt meg a megoldás, hogy milyen magasra kell dobni mennyi időhöz (nemrelativisztikus): https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27 ... r_equation
Ez talán analitikus alakra hozható (így nincsen abban), de zártra nem.

(Sanyi Laci relativisztikusan felírta a fekete lyukas témában a zuhanó test implicit egyenletét, abből kifejezve az x-et talán analitikus alakú megoldást kaphatunk a relativisztikus megoldásra is. (De még szummával benne, szóval csak numerikusan számolható.))
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára =^.^= 2018.03.25. 13:18-kor.
Macifej

These users thanked the author =^.^= for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
Avatar
=^.^=
 
Hozzászólások: 134
Csatlakozott: 2017.04.17. 22:51
Has thanked: 11 times
Been thanked: 10 times
Név: Fejmedve Ricsi

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.03.25. 13:10

Ha nem rontottam el, akkor a (https://www.docdroid.net/Atge6SP/1fejezet02.pdf#page=17)-ban a (130-131) egyenlet alapján lehet megkapni a fél nap alatti időhöz tartozó magasságot, bár a kifejezés kiértékeléséhez valóban numerikus számolás szükséges, rosszul emlékeztem.
G.Á
 
Hozzászólások: 1050
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 285 times

Következő

Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 1 vendég