Kapilláris dinamika

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Kapilláris dinamika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.05.31. 20:49

Vékony, kis [Renderelés ... r] sugarú kapilláris csövet helyezünk függőlegesen egy nagyon kis viszkozitású folyadék felületére úgy, hogy éppen létrejöjjön az érintkezés.
A viszkozitásra teljesül hogy [Renderelés ... \eta \ll g \rho^{3/2} r^{5/2} \gamma^{-1/2}] , ahol [Renderelés ... g] a nehézségi gyorsulás, [Renderelés ... \rho] a folyadék sűrűsége, [Renderelés ... r] a cső belső sugara, [Renderelés ... \gamma] a felületi feszültség.
A folyadékot nedvesítőnek feltételezhetjük, a meniszkusz magasságát lényegében a folyadékoszlop magasságával azonosíthatjuk.
Határozzuk meg a meniszkusz magasságát jellemző egydimenziós dinamikát! Mekkora lesz a folyadékoszlop maximális magasságának és egyensúlyi magasságának aránya?

(2017)
G.Á
 
Hozzászólások: 1087
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 294 times

Re: Kapilláris dinamika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.07.31. 14:04

A vízoszlop dinamikáját alapvetően három részre lehet bontani:
1) Nagyon rövid időskálán egyáltalán kialakul a meniszkusz, és a folyamat végére a vízoszlop szerez egy kicsi függőleges irányú sebességet.
2) Közepes időskálán a vízoszlop emelkedik, elér egy maximális magasságot, majd süllyed.
3) Hosszabb időskálán a vízoszlop magassága oszcillál, és egy idő után a viszkozitás miatt beáll egy egyensúlyi magasságba.

A teljesértékű megoldáshoz mind a három eset tárgyalandó, de itt most egyelőre elegendő csak a 2)-es részt tárgyalni.

A mozgásegyenlet intuitívan könnyen felírható a vízoszlopra (bár külön meg kellene mutatni, hogy a viszkozitásból eredő tag első közelítésben tényleg elhagyható egy oszcilláció idejéig):
[math]
ahol F a már kialakult konstans kapilláris erő, a sebesség [Renderelés ... v=\dot{h}] , a mozgó vízoszlop tömege pedig jó közelítéssel
[math], ahol A a cső a kapilláris cső keresztmetszete.

Azt tudjuk hogy az egyensúlyi magasság [math], ehhez akarjuk viszonyítani a maximális magasságot.

[math]
Az egyenlet megoldását kereshetjük például
[Renderelés ... h(t)= at^2 +bt +c] alakban, ekkor
[Renderelés ... \dot{h}= 2at +b]
[Renderelés ... \ddot{h}= 2a]

Visszahelyettesítések után belátható, hogy a fizikailag releváns megoldás az:
[math]
[math]
[math]

és a maximális magasság ebből kiszámolhatóan [math].

Megjegyzendő, hogy ez az érték jól illeszkedik kísérleti értékekhez is.
G.Á
 
Hozzászólások: 1087
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 294 times


Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 0 vendég