Born-Infeld kinematika

[G.Á]

Tavaly nyáron az alakváltoztató testek mechanikájáról írtam, most valami lényegesen bonyolultabbról fogok.
A témában egy nagyon-nagyon távoli ismerősöm doktori disszertációját próbálom tömören feldolgozni.
Érdekesség, hogy "témavezetőileg" Hawking unokája az illető.
Előrebocsátom, hogy részleteiben nem teljesen értem még, ezért nagymértékben saját magamnak írom, a diszkusszió ezért nekem is hasznos lehet.
Előreláthatóan igen lassan fogom kifejteni, mivel igen sok egyéb teendőm is van nyáron.


Motiváció

A húrelméletet hagyományos téridőn szokás megfogalmazni, de a nehézségek arra is utalhatnak, hogy a hagyományos megközelítésektől elkerülhetetlenül el kell távolodnunk.
Ezt egy egyszerű gondolatkísérlettel is szemléltethetjük.
Tegyük fel, hogy szeretnénk a téridő kis tartományát tetszőlegesen kis pontossággal mérni. A kvantumelmélet során kialakult intuíciónk azt mondja, hogy ez az energia-impulzus tenzor szórásának egyre nagyobb növelésével lehetséges.
Ez viszont az Einstein-egyenleteken keresztül a geometria "szórásához"/fluktuációjához vezet. A Planck-hossz nagyságrendű térbeli feloldás alatt szeretnénk mérni, a méréseink bizonytalansága dominánsan kvantumos eredetűvé válik.

Emiatt a téridő kvantumelmélete szükségszerűen kell hogy tartalmazzon (nem feltétlenül expliciten) egy hosszúság-dimenziójú konstanst.
Ez azt jelenti, hogy alacsony-energiás határesetben az elméletnek legalább két független állandója kell hogy legyen, a fénysebesség és a Planck-hossz (úgy, hogy az általános kovariancia megmaradjon), szemben a speciális relativitáselmélettel, mely csak a fénysebességet tartalmazza.

A húrelméleti megközelítés ezzel ellentétes, ott megtartják a Riemanni téridőt, és erre építik fel az elméletet. A Planck-hossz a dinamikába van beleépítve. Ennek az elegáns geometriai felépítésnek azonban ára van: az elmélet csak bizonyos keretek között (26 és 10 dimenzió) konzisztensz.

A továbbiakban azt a feltételezést építjük bele a kinematikába, hogy a sebesség felső korlátján kívül a gyorsulásnak is van felső korlátja.

Bár a klasszikus fizika nem tiltja a korlátlan gyorsulást, a kvantumtérelméletbe és a húrelméletbe mégis belép hasonló korlát, például az elektromágneses térerősségekre vonatkozóan, látszólag a "hátsó ajtón".
Amennyiben már klasszikusan is beépítjük ezt az elméletünkbe, majd erre alapozva építjük fel a kvantumtérelméletet, annak pozitív hatása van bizonyos perturbatív sorok konvergenciájára vonatkozóan.

Megjegyezésre méltó, hogy a szokásos, maximális gyorsulást tartalmazó dinamikai elméleteket olyan Lagrange-függvények segítségével lehet felépíteni, mely másodrendű deriváltakat tartalmaz.
Ismert, hogy az ilyen rendszerek patologikus viselkedésekre vezethetnek, ezért ezt megkerülve, a korlátot közvetlenül a kinematikába helyezzük.

A tárgyalásban fel fogjuk használni a pszeudo-komplex görbült sokaság eszköztárát.

(folyt. köv.)

[dgy]

Elolvastam Schuller 2002-es cikkét a témáról. Nem tudom, te erre építesz-e, vagy egy másikra.

A dolog tényleg nagyon érdekes. Cifra és meggyőző a matematikai körítés, bár az alapötlet pofonegyszerű.
Az egészben az a lényeges és meggyőző, hogy ez az egyszerű trükk kompatibilis a specrellel és az áltrellel is.

dgy

[G.Á]

Igen, ugyanarra gondolunk.

Érdeklődőknek itt található az a rész, amelyet feldolgozásra szánok: https://arxiv.org/pdf/hep-th/0203079.pdf

[G.Á]

A jelölésekben megpróbálok nem eltérni a linkelt cikktől.

Áttekintés 1.

Jól ismert, hogy a (Maxwell-féle) elektrodinamikának a Lagrange-formalizmusa a minimális csatoláson keresztül ragadható meg.
Ez azt jelenti, hogy az EM-térhez csatolt rendszer úgy modellezhető, hogy a Lagrange-függvényt(sűrűséget) a szabad részecskék, a szabad EM-tér, és a részecske-mező csatolás Lagrange-függvényeit egyszerűen összeadjuk.

Az is jól ismert, hogy az elektrodinamikából levezethető a fénysebesség, és ekkor magyarázatra szorul, hogy miként kell értelmezni annak állandóságát:
-vagy létezik fényközeg,
-vagy a fénysebesség állandósága kinematikai jellegű (másként fogalmazva a téridő tulajdonságaihoz rendelhető).

Ismert, hogy a második lehetőség bizonyult a tapasztalatainkkal összeegyeztethetőnek.

Ennél többet is mondhatunk azonban, és ehhez tekintsük az ú.n. Born-Infeld féle elektrodinamikát.
Erről tömören a következőket érdemes tudni:
-Nemlineáris elektrodinamikai elmélet.
-Felső korlátot tartalmaz az elektromos térerősségre.
-Az egyetlen, bizonyos matematikai szempontokból "jól viselkedő" nemlineáris elektrodinamika.
-Bizonyos húrelméleti számítások határértékeiben kijön.
-Alacsony térerősségű határértékben visszaadja a Maxwell-elméletet.

A szabad mező Lagrange-sűrűsége ebben az elméletben, konstansoktól eltekintve:
[Renderelés ... L=\sqrt{det(\eta + bF)}]L=\sqrt{det(\eta + bF)}
ahol [Renderelés ... \eta]\eta a Minkowski-metrikus tenzor, F a Faraday-tenzor, és b a maximális térerősség reciproka.

Az elméletből az következik, hogy a töltött részecskék gyorsulása felülről korlátos.
Az ötletünk az lehet, hogy ezt a korlátot ugyanúgy beépítjük a kinematikába, mint a spec.rel. esetében a maximális sebességet.
Ehhez meg kell majd vizsgálnunk az elmélet által meghatározott szimmetriacsoportot.

Ahhoz, hogy megsejtsük az ezzel kapcsolatos lehetőségeket, a következőkön érdemes végighaladni:

A szabad tér Lagrange-sűrűsége úgy is írható, mint:
[Renderelés ... L=det^{1/4}H]L=det^{1/4}H,
ahol
[Renderelés ... H=
\begin{bmatrix}
bF_{lm} & -\eta_{lm} & \\
\eta_{lm} & -bF_{lm} & \\
\end{bmatrix}]H=
\begin{bmatrix}
bF_{lm} & -\eta_{lm} & \\
\eta_{lm} & -bF_{lm} & \\
\end{bmatrix}
egy 8x8-as mátrix.

Ha ekkor egy tömegpont világvonalát relativisztikus fázistéren akarjuk jellemezni, akkor bevezetjük a:
[Renderelés ... Y_i=(ax_j, u_j)]Y_i=(ax_j, u_j) mennyiséget (8-komponensű vektor), ahol u a négyessebesség, az a pedig a maximális gyorsulás.

(folyt köv.)

[G.Á]

Bocsánatot kérek, de úgy látszik, sikerült alaposan félrebecsülnöm a nyári tevékenységeim eloszlását. A témát folytatni fogom, csak nem mostanában.