Pattogó labda

Feladatok illetve megoldásaik, az elme frissen tartására.

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.10.15. 11:36

Én a kezdőpontra gondoltam, és direkt ferde hajítást írtam, amikor az eredeti magasságot meghaladhatja a labda a pályája során.
G.Á
 
Hozzászólások: 1030
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 280 times

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.10.15. 19:59

Az általad eredetileg felvetett problémában a labda kezdeti energiája [Renderelés ... E_0 = \dfrac{m v^2_0}{2} + mgh_0], és azt is tudjuk, hogy kellően sok pattanás után a labda gördül, vagyis teljesül a gördülési feltétel: [Renderelés ... v_g= R \omega].
A teljes energia ekkor: [Renderelés ... E_g \approx \dfrac{m v^2_g}{2} + \dfrac{\Theta \omega^2}{2} + mgR
= \dfrac{m v^2_g}{2} + \dfrac{m R^2 \omega^2}{3} + mgR]
, ahol a közelítés csak annyiban van, hogy továbbra is feltételezzük a labda gömb alakját, vagyis hogy a tömegközéppont nem lesz számottevően lejjebb, mint annak sugara.


A feladat ezen a ponton válik aluldefiniálttá, mert az energia a feladat szerint nem marad meg, és nem ad egyéb támpontot arra, hogy a két energiaérték milyen viszonyban van.
Feltételezve, hogy közel azonosak, [Renderelés ... \dfrac{m v^2_0}{2} + mg(h_0 -R) \approx \dfrac{5 m v^2_g}{6}], vagy egyszerűsítve:
[Renderelés ... v^2_0 + 2 g(h_0 -R) \approx \dfrac{5 v^2_g}{3}].
Ha a dobás körülményeiről feltételezhetjük, hogy a potenciális energiakülönbség elhanyagolható a kinetikushoz képest (bowling-jellegű, vagy nagyon gyors dobás), akkor kijön a korábbi becslés.
G.Á
 
Hozzászólások: 1030
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 280 times

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: Antares » 2018.10.16. 21:34

Én más úton gondolkodtam, erőkkel, és úgy nem tűnik a feladat aluldefiniáltnak. Viszont a te energiamérlegedből nem maradt ki valami? Lehet, hogy akkor ez az oka az eltérő eredményünknek.
Antares
 
Hozzászólások: 256
Csatlakozott: 2014.03.26. 04:38
Has thanked: 72 times
Been thanked: 17 times

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.10.16. 22:40

Igazad van, már látom hogy én mondtam hülyeséget, csak összezavart az "a gördülési ellenállástól tekintsünk el" kitétel, és elfeledkeztem róla hogy természetesen ettől függetlenül létezik a csúszási súrlódási erő.
A megoldás így persze nagyon hasonló a szokásos "csúszó labda dinamikája" számolásának eredményéhez.

Amíg a sebesség eléri a gördülési feltételt,
[Renderelés ... v_0 - \int F dt /m = R\omega]
az impulzusmomentum (ha kezdetben nulla) :
[Renderelés ... \omega = R\int F dt /\Theta]
lesz, melyből az integrál kifejezhető. Rendezések után:
[Renderelés ... (\Theta + m R^2 )\omega = R m v_0]
melyből a gördülési feltétel felhasználásával:
[Renderelés ... v_g = \dfrac{m R^2 v_0}{\Theta + mR^2}].

Ebből már valóban kijön a [Renderelés ... v_g =\frac{3}{5}v_0]
G.Á
 
Hozzászólások: 1030
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 280 times

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: Antares » 2018.10.16. 23:15

Igen :)

Én is a lendület- és perdületváltozásokat írtam fel egy-egy pattanáskor, és azt vettem észre, hogy azok mindig arányosak egymással, mert ugyanaz az integrál szerepel bennük. Tehát a labda vízszintes sebességének változása minden pillanatban arányos a kerületi sebesség változásával. És ez nem függ attól, hogy a pattanás közben pontosan mi történik, mekkora erők hatnak. És így az sem számít, hogy a labda egyáltalán pattog-e vagy eleve csúszik. Ami érthető, hiszen két pattanás közben nem történik semmi, ami számunkra fontos. :)
Antares
 
Hozzászólások: 256
Csatlakozott: 2014.03.26. 04:38
Has thanked: 72 times
Been thanked: 17 times

Re: Pattogó labda

HozzászólásSzerző: G.Á » 2018.10.24. 17:35

Formulákkal is leírom az egyetlen pattanás során történő sebesség, és szögsebesség-változásokat.

Ha a padló által a labdára kifejtett erejének tulajdonítható, egy pattanás alatt történő, függőleges impulzus-komponens megváltozása
(bizonyos, de elfogadható feltételezésekkel):
[Renderelés ... \delta P_y = \int F dt],
a vizszintes impulzus-komponens megváltozás pedig:
[Renderelés ... \delta P_x = - \mu \int F dt].

Az impulzusmomentum ezekre merőleges komponensére pedig:
[Renderelés ... \delta L_z = -\mu R \int F dt].

Ezekből a pattanás utáni értékek.
[Renderelés ... v_y = v _{y0} + \delta P_y/m]
[Renderelés ... v_x = v _{x0} - \mu \delta P_y/m]
[Renderelés ... \omega = \omega_{0} - \mu R \delta P_y/ \Theta]

Kérdés: visszajuthat-e a dobás közvetlenül a dobó kezébe?
G.Á
 
Hozzászólások: 1030
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 57 times
Been thanked: 280 times

Előző

Vissza: Rejtvények, feladványok

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 2 vendég