Matematikai alapok (differenciálgeometria)

[Gombk.Ak]

Szerző: Dgy,
átmásolva innen:https://www.kozmoforum.hu/viewtopic.php?f=28&t=269&sid=ffdf0b8035081e25683dfa82800e0194

Hilbert energiaimpulzus-tenzor definíciója a felső indexes [Renderelés ... g^{ik}]g^{ik} együtthatójaként definiálja a [Renderelés ... T_{ik}]T_{ik} alsó indexes energiatenzort, ezért a végeredményt ilyen alakra kell hozni. De a számolás közben nem mindegy - és főleg nem önkényes -, hogy mit tekintünk független változónak.

A differenciálható sokaságok koordinátái nem vektorkomponensek, de - megegyezés szerint - felső indexszel jelöljük őket: [Renderelés ... x^k]x^k. A [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciál viszont már vektor, az adott pontbeli érintőtér (tangenstér) eleme - ezért felső indexes vektorkomponensnek számít. (Ugyanis általános koordináta-transzformáció esetén a [Renderelés ... dx^k]dx^k-k úgy transzformálódnak, mint egy deriváció - hagyományos nevén görbementi derivált - komponensei.)

Mindez teljesen független a metrikától - sőt az általános differenciálgeometriában általában nem is létezik metrikus tenzor. (Korábban már volt szó arról, hogy a konnexió fogalma is független a metrikától, ezért önkényesen adható meg - csak a Riemann-geometria specialitása az, hogy kapcsolatot követelünk meg a konnexió és a metrika között.)

Az alsó indexes [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek viszont NEM differenciáljai semmiféle "[Renderelés ... x_k]x_k" alsó indexes koordinátának - ilyesmi ugyanis nem létezik. A [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségek az adott pontbeli ko-érintőtér (kotangenstér), azaz az érintőtér duális terének elemei, és őket a [Renderelés ... dx_k=g_{kl}dx^l]dx_k=g_{kl}dx^l formula definiálja, a [Renderelés ... g_{kl}]g_{kl} metrikus tenzor segítségével.

És bár igaz, hogy az ívelem-négyzet kétféleképp is felírható: [Renderelés ... ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l]ds^2=g_{kl}dx^kdx^l=g^{kl}dx_kdx_l formában, a metrika variálásakor a két alak nem lesz egyenértékű. Ugyanis az első alak a metrikus tenzort és a metrikától független [Renderelés ... dx^k]dx^k koordináta-differenciálokat tartalmazza, ezért a metrika variálásakor a differenciálok konstansnak tekinthetők. Míg ha a második alakból indulunk ki, az az inverz metrikus tenzor mellett az ugyancsak metrika-függő [Renderelés ... dx_k]dx_k mennyiségeket tartalmazza, ezért a metrika variálásakor az utóbbiak változását is figyelembe kell(ene) venni, ami oltári ronda és bonyolult számoláshoz vezet.


Tanulság: nem elég formális matematikai manipulációkat űzni (és abban bízni, hogy két előjelhiba majd csak kiejti egymást...). A fizikai alkalmazásokban tudni és érteni kell, hogy mit is jelent egy-egy képlet vagy mennyiség, mi az értelme az olyan fogalmaknak, mint "a metrika variálása", pontosan tudni kell, hogy melyik mennyiségnek mi a definíciója, melyik függ vagy nem függ a másiktól. Röviden: nemcsak számolni kell, hanem érteni is, mit csinálunk.