Monostabil tetraéder

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: G.Á » 2021.04.03. 00:35

Készíthetünk-e homogén tömegeloszlású anyagból olyan tetraédert, amelyet vízszintes asztallapra állítva csak az egyik lapján fekszik stabilan, a másik három helyzetéből felborul?
(Varga István)
Az 1988 évi verseny ötödik feladata volt
G.Á
 
Hozzászólások: 1217
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: srudolf » 2021.04.07. 23:02

Tudtommal, csak a minimum 8 csúcsú poliéder lehet monostabil.

szerekesztve:
Hogy a tetraéder felboruljon, egy él mentén a lapszög tompa szög kell legyen. Az él körül elfordul és felborúl.
Egy tetraéder négy háromszögből áll és azok szögeiknek az összege pi, a lapszögek összege lefeljebb 4pi lehet.
Úgyhogy a tertaédernek kell legyen legalább egy csúcsa, ahol a hozzátartozó három lapszög hegyesszög.

A tetraéder súlypontját úgy lehet kiszerkeszteni, hogy a háromszögek súlypontját összekötjük a szemköszti csúccsal. Ezeknek a metszépontja a tetraéder súlypontja, ez elnégyeli a tetraéder súlyvonalait.
Értelemszerűen a súlypontjához leközelebb fekvő háromszög területe a legnagyobb, azzal a lapjával az asztalra letéve nem borul fel, mert a súlypont vetülete a háromszög területébe esik.
Ahoz, hogy monostabil legyen, a legnagyobb háromszög három élénél tompa szög kéne legyen, ami lehetetlen, mert a negyedik csúcson nem záraodna össze a tetraéder.

Készitem egy tetraédert, aminek két élnél van tömpa szög, ez két lapjával letéve az asztalra borúlni fog, de a másik kettőre letéve nem. Olyan tetraédert, nem lehet rajzolni, aminek még egy tompa szöges éle van. Élhosszak, 4, 17,17, 41,26,24 egység.
Kép
Kép
Kép
Hasolnlít egy lopakodó repcsihez. :D
Avatar
srudolf
 
Hozzászólások: 379
Csatlakozott: 2014.05.23. 21:07
Tartózkodási hely: Sepsiszentgyörgy, Románia
Has thanked: 103 times
Been thanked: 62 times
Név: Csákány Tibor

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: =^.^= » 2021.04.13. 12:30

srudolf írta: Egy tetraéder négy háromszögből áll és azok szögeiknek az összege pi, a lapszögek összege lefeljebb 4pi lehet.
Úgyhogy a tertaédernek kell legyen legalább egy csúcsa, ahol a hozzátartozó három lapszög hegyesszög.


Ez igaz?

Ahoz, hogy monostabil legyen, a legnagyobb háromszög három élénél tompa szög kéne legyen, ami lehetetlen, mert a negyedik csúcson nem záraodna össze a tetraéder.


Nem értem, miért kéne a monostabilitáshoz az, hogy a lap minden élénél tompaszög legyen?

Egy másik megközelítés lehet az, hogy azt megmutatni, hogy semmilyen tömegeloszlású tetraéder nem lehet monostabil, méghozzá úgy, hogy:

    1. Egy monostabil tetraéderen minden lapon van tompaszögű él, és van olyan lap, amin van legalább 2 tompaszögű él is.
    2. Ha egy tetszőleges tetraéderen van egy lap, amin van 2 tompaszögű él, akkor a harmadik él felőli szomszédos lap szuperstabil, nincs tompaszögű éle. (Vagy: ha van olyan csúcs, amibe fut 2 tompaszögű él, akkor a vele szemközti oldal szuperstabil.)

Az 1-hez az kell, hogyha egy lap nem stabil, akkor van olyan éle, ami felé eldől, illetve hogy ezek nem alkotnak ciklust, így leér a monostabil lapig. Ha egy X instabil lap átdönthető egy Y instabil lapba, akkor Y-on van 2 tompa él, ha egyik instabil lap sem dönthető át egy másikba, akkor mindegyik közvetlen a monostabil oldalba, így azon van 3 tompaszögű él.

A 2.-t úgy látom be, hogy legyenek az ABC oldalon AC és BC élek tompák, ekkor a C csúcsba megy 2 tompa él. Azt mutatom meg, hogy ABD szuperstabil. Tegyük le a tetraédert az asztalra, ABD-vel lefelé; azt kell látni, hogy C az ABD háromszög felett van.

Lemma: legyen ABD egy háromszög az asztalon, C valahol az asztal felett, és az AC élszög tompa. Ekkor a C pont vetületének lehetséges mértani helye az AB és AD egyenesek által meghatározott négy szögtartomány közül kettő uniója, méghozzá az egyik az ABD háromszög szögtartománya, a másik meg az ezzel szemközti szögtartomány.

Ha a lemmát alkalmazzuk az A és a B csúcsokra, akkor azt kapjuk, hogy C vetülete a két kúp metszetébe, ABD-be eshet, így az ABD oldalon nincsen tompaszög, így ABCD nem lehet monostabil.
=^.^=
 
Hozzászólások: 148
Csatlakozott: 2017.04.17. 22:51
Has thanked: 18 times
Been thanked: 10 times

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: G.Á » 2021.04.13. 16:28

Tudtommal, csak a minimum 8 csúcsú poliéder lehet monostabil.

Azt nem tudom hogy három-dimenziós esetben mennyi a minimum.

Egy másik megközelítés lehet az, hogy azt megmutatni, hogy semmilyen tömegeloszlású tetraéder nem lehet monostabil, méghozzá úgy, hogy:

Ez viszont valószínűleg nem igaz. Tetszőleges tömegeloszlás esetére J.H. Conway konstruált monostabil tetraédert:
https://cs.smu.ca/~dawson/images1.html
Mindazonáltal homogén tömegeloszlás esetében valóban negatív a válasz.

Szerintem a legegyszerűbb indoklás a következő lépéseken alapul:

1) Ahhoz hogy a test elboruljon egy él mentén, az élet jellemző szög (a két oldalt síknak tekintve, a síkok bezárt szöge) tompaszög kell hogy legyen.
2) Homogén tömegeloszlás esetén, ha a tetraéder egy adott oldalán nyugszik, a tömegközéppont annál alacsonyabban van, minél nagyobb az alsó oldal területe.
3) Ha egy él mentén magától elborul a test, akkor annak iránya az alacsonyabb helyzeti energia felé történik, vagyis a tetraéder csak a kisebb oldaláról dőlhet a nagyobb oldalára.

T.f.h. a homogén tetraéder monostatikus.
Jelöljük a legnagyobb területű oldalát "A"-val, a második legnagyobb oldalát "B"-vel.
Ekkor két lehetőség van a harmadik "C" oldal elborulására:
-- vagy C-ről B-re, majd A-ra dől a test;
-- vagy C-ről és B-ről is közvetlenül A-ra dől.

Bármely eset is forduljon elő, vagy A, vagy B oldalhoz két tompaszög rendelhető, és az egyik az AB közti élhez tartozik.
Tekintsük azt az X oldalt (síkot) referenciának, amelyhez a két tompaszög tartozik, tehát X vagy A, vagy B.
Ehhez tompaszöggel illesztve két, egymást is metsző síkot, intuitívan látható(*), hogy a negyedik D oldal legalább akkora területű mint az X.
Ez viszont azt jelenti, hogy X nem lehet a legnagyobb, vagy második legnagyobb oldal, tehát X nem A vagy B.

Tehát a monostatikus homogén tetraéder feltételezésével ellentmondáshoz jutottunk.

(*) Ezt valahogyan jó lenne persze bizonyítani. A D oldal projekciója X-re akkora területű, mint az A,B,C oldalak X-re vett projekcióinak terület-összege. Lehet hogy van olyan klasszikus geometriai tétel, amely felhasználásával következik ebből, hogy D nagyobb mint X.
G.Á
 
Hozzászólások: 1217
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: =^.^= » 2021.04.13. 17:36

A képről le kéne tudni olvasni a konstrukciót?
=^.^=
 
Hozzászólások: 148
Csatlakozott: 2017.04.17. 22:51
Has thanked: 18 times
Been thanked: 10 times

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: G.Á » 2021.04.13. 18:40

Nem tudom.
A kép azt hiszem, hogy ebből a cikkből származhat https://sci-hub.do/10.1007/bf03024844 , ugyanakkor a benne szereplő gondolatmenet alapján én azt gondolnám, hogy speciálisan a tetraéder nem alakítható monostabillá.
Ha így van, akkor mégis neked van igazad.
G.Á
 
Hozzászólások: 1217
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: srudolf » 2021.04.15. 00:52

Kép


Legyen egy ACD egyenlőszárú háromszög. Vetitsük le egy vizszintes síkra, amibe benne van a CD szakasz. Így létrejön a BCD háromszög, meghúzzuk a szögfelezőket, ezek kettéosztják a CD szakaszt az E pontban.


A D pontból indítva szerkesztünk egy merőleges síkot az AC szakaszra. A lapszöge az ACD és a ABC háromszögnek legyen δ.
Ha egy szabályos poliéderről lenne szó, akkor az ACD háromszög az ABC háromszög síkján keresztül tükröződve, a poliéder szomszédos oldala lenne. Így a 2δ szög szabályos poliéder lapszöge lenne.
Az α szög a élek közötti szög a poliéder lapjain, ha egyenesen nézek egy csúcsra, a β szög az élekre vetitett szög. Ezek legyenek ismertek, hiszen mérjük és látjuk. :D


Számitsuk ki a γ szöget. Az AEC háromszög derészögű: S sin(α/2), α ΒΕC is derészögű, S cos(γ) sin (β/2), innen cos( γ)=sin(α/2) sin (β/2)
Számitsuk ki a δ szöget. Az AFD háromszög derékszögű, GD szakaszt ki lehet számítani az FGD háromszögből: S sin(α)sin(δ) és a BGD-ből: S cos(γ) sin(β), innen sin(δ)= cos(α/2)cos(β/2)
Számitsuk ki a ε szöget, ámbár az nem érdekes, mert egy tetszőlegesen választott vetitési szög. Az cos(ε) = BE/AE, innnen : cos(ε)=tan(α/2)tan(β/2)

Macsek, számold ki, hogy mennyi a valós lapszöge a szabályos octaédernek?
Avatar
srudolf
 
Hozzászólások: 379
Csatlakozott: 2014.05.23. 21:07
Tartózkodási hely: Sepsiszentgyörgy, Románia
Has thanked: 103 times
Been thanked: 62 times
Név: Csákány Tibor

RE: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2021.04.17. 10:00

G.Á írta:a benne szereplő gondolatmenet alapján én azt gondolnám, hogy speciálisan a tetraéder nem alakítható monostabillá.

Tetraéder = háromszög alapú gúla. De nem kell feltétlenül szabályosnak lennie.

Nagyon laposra csinálnám, viszont permanens mágnesből. Alá pedig egy másik mágnest elrejteni. :mrgreen:
(Mivel ez nem matematika feladat, hanem fizika.)


Szerkesztés:
Egy síkbeli háromszög súlypontja a magasságvonal harmadolópontja. Egy gúla súlypontja a magasságának negyedénél van.
Ahhoz, hogy egy test felboruljon, a súlyának következtében, a súlypontnak a megtámasztáson kívülre kell kerülnie. Talán nem szorul magyarázatra, hogy az oldalél mentén könnyebben borul, mint a sarkok körül. Ugyanis a sarkok messzebb vannak. Viszont a súlypont legfeljebb két oldalélhez képest kerülhet kívülre.
Cavalieri üdvözletét küldi. :roll:
Zsolt68
 
Hozzászólások: 769
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 380 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Monostabil tetraéder

HozzászólásSzerző: G.Á » 2021.04.17. 23:39

Tetraéder = háromszög alapú gúla. De nem kell feltétlenül szabályosnak lennie.

Örülök hogy sikerült a feladat szövegét értelmezned.
Nagyon laposra csinálnám

Szerintem elég érthetően lebontva olvasható a fenti hozzászólásomban, hogy homogén tetraéder esetében nem lehetséges monostabilitás.

Utána viszont, hacsak nem értettem félre valamit, már az általános tömegeloszlású tetraéderekről volt szó, és arról hogy lehetséges-e inhomogén monostabil tetraéder.
Ekkor természetesen nem igaz, hogy:
Egy gúla súlypontja a magasságának negyedénél van.
mert bárhol lehet a testen belül.

These users thanked the author G.Á for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
G.Á
 
Hozzászólások: 1217
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times


Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 1 vendég

cron