Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszerekben

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Re: Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszere

HozzászólásSzerző: Törölt felhasználó » 2017.02.09. 03:45

A megsz. sok oszcillátorhoz lehet rendelni valami értelmeset, hogy olyan viszonyban álljanak a valami értelmessel, mint ahogy a Fourier együtthatók állnak a f(x) függvényekkel?
Törölt felhasználó
 

Re: Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszere

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.02.11. 00:56

Tekintsünk egy véges hosszúságú húrt, a két végén rögzítve. Egy adott pillanatban a húr kitérését egy y=f(x) függvény írja le, amely a két végpontban nulla értéket vesz fel. Ha a rendszer időbeli fejlődését akarjuk vizsgálni, akkor minden x pontban meg kell adnunk az y kitérés függését az időtől, tehát kontinuum sok időfüggvényre van szükségünk.

Ha viszont a rendszer mozgását a Fourier-analízis segítségével vizsgáljuk, akkor megszámlálhatóan végtelen sok állandó Fourier-együtthatót kell megadnunk, hiszen az egyes sajátrezgések térbeli alakját és időbeli lefutását a diffegyenlet egyértelműen meghatározza.


Véges húr rezgése esetén a szabadsági fokok számát megszámlálhatónak tekintjük.

Végtelen húr esetén pedig kontinuum-számosságúnak tekintjük.

Általánosságban, végtelen dimenziók esetén a nemtrivialitás abból fakad, hogy általában nem garantált, hogy végtelen tag szuperpozíciója egyáltalán értelmezhető legyen.
A probléma legegyszerűbb megközelítése a Hamel-bázis alkalmazása, ekkor csak véges szuperpozíció kerül értelmezésre.
Ez természetesen a fizikában igen kevéssé hasznos, ha végtelen dimenzióban leírható rendszereket vizsgálunk.

Ennek a túllépéséhez nyilván az szükséges, hogy a végtelen szuperpozíció konvergálhasson. Ehhez a tér elemei közti távolságfogalomra van szükség, ehhez pedig belső szorzatra, vagy legalábbis normára.

A Fourier-bázist is ilyen módon értelmezhetjük, és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények terén a fourier-sor megszámlálható bázist ad.
De habár van megszámlálható ortonormált bázis, mégsincs ugyanennek a térnek megszámlálható Hamel-bázisa.

Egy fontos különbség az ilyen módon értelmezett ortogonális bázisok, és Hamel-bázisok között, hogy a most már értelmezett végtelen szuperpozíciók kivezethetnek a térből.

http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf

Bizonyos értelemben tehát a megközelítésünktől függhet a megszámlálható/kontinuum jelleg, aminek éppen a kvantummechanikával kapcsolatban van érdekes vonatkozása. Elvileg ugyanis a Hilbert téren mindig létezik megszámlálható ortogonális bázis, de a gyakorlatban sokszor használjuk a (rosszul definiált) koordináta/impulzuskép-beli leírást, amelyek a Dirac-delta/komplex-Fourier bázisokon alapulnak, amelyek általában kontinuum-számosságúak.
(Nagyon érdekes, hogy létezik olyan nem-ortogonális megszámlálható bázis, amelyek két speciális határértékben ortogonálissá, egyszersmind kontinuumszámosságúvá válnak, visszaadva az előbb említett két bázist.)

Ennek ellenére legtöbbször mégsem ez alapján döntjük el a szabadsági fokok számosságát, hanem a dinamikával sokkal közvetlenebb kapcsolatban lévő energiasaját-állapotok számossága alapján.
Vagy klasszikus esetben a sajátrezgések alapján (legalábbis ahol ez értelmes fogalom). Ez viszont matematikailag önkényes.
(Persze ha hülyeséget mondok ezzel, kérem a földbe döngölésemet)


A megsz. sok oszcillátorhoz lehet rendelni valami értelmeset, hogy olyan viszonyban álljanak a valami értelmessel, mint ahogy a Fourier együtthatók állnak a f(x) függvényekkel?

Nem tudom hogy mire is gondolsz, tudnál pontosítani a kérdéseden?

Persze ezzel bizonyos mértékig le is lőttem a feladat egyik részét, miszerint nem szükséges a kontinuum-sok szabadsági fok a szimmetriasértéshez, és igazából korábban már utaltam is a rekurrancia-tételekre.
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszere

HozzászólásSzerző: Törölt felhasználó » 2017.02.11. 02:35

Véges húr rezgése esetén a szabadsági fokok számát megszámlálhatónak tekintjük.

Végtelen húr esetén pedig kontinuum-számosságúnak tekintjük.


Linked vagy hivatkozásod van erre? Vagy a kettő közül valamelyikre? Hátha kifejti a szerző, hogy mit is ért ez alatt.

A linked (gyors átfutás után) arról ír, hogy két, nagyon gyökeresen eltérő bázisfogalom értelmezhető az egyikben illetve a másikban, de, arról nem, hogy ez milyen értelemben azonos a szabadsági fokok számosságával.
Törölt felhasználó
 

Re: Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszere

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.02.11. 13:04

A Sturm–Liouville elméletnek megfelelő spektrumot szokás sajátfrekvenciáknak, a megfelelő sajátfüggvényeket módusoknak nevezni.
Ezek számosságát tekintjük tipikusan szabadsági foknak végtelen esetén.

Matematikusok azonban ritkán használják a sajátfrekvencia/módus/szabadsági fok fogalmakat.
Matematikai könyvekben ezért tipikusan nem szerepelnek ezek a szavak.

https://perso.univ-rennes1.fr/lalaonirina.rakotomanana-ravelonarivo/Stokey_chapter7.pdf

"For example, when a
uniform beam with simply supported or hinged ends vibrates laterally at its lowest
or fundamental natural frequency, it assumes the shape of a half sine wave; this is a
normal mode of vibration.When vibrating in this manner, the beam behaves as a system
with a single degree-of-freedom, since its configuration at any time can be
defined by giving the deflection of the center of the beam"
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszere

HozzászólásSzerző: G.Á » 2019.04.01. 21:21

Egyelőre felteszem ide azokat a fóliákat, amiket a tavalyelőtti verseny eredményhirdetésére készítettem ehhez a feladathoz.
Nem nyúltam hozzá, nem egészítettem ki azokkal a magyarázatokkal, amiket élőben kellett megtenni, de talán hasznos lehet:
https://www.slideshare.net/Gombktkos/201713-139126767
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Előző

Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 1 vendég