Maximálisan eltelt idő

Ortvay feladatok megoldásainak tárgyalása.

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: persicsb » 2018.04.12. 10:53

dgy írta:
G.Á írta:Ez igaz, csak hirtelen nem jutott eszembe értelmesebb dolog, mint ennek a végigszámolására biztatni az olvasóközönséget.

Ákos, nem akarlak bántani, de szerintem kissé el vagy szállva. Vagy tájolva.

Az az érzésem, nem nagyon vannak itt olyanok, akik ezt a variációs feladatot - vagy a tegnap feladott hiperbolikus Ising-modellt - végig tudnák számolni. És ráadásul élveznék a számolást.

Ha tévednék, szóljatok! Nagyon örülnék neki!

Ez a fórum eredetileg nem a fizikus szakon tanított számolási technikákat igénylő feladatok megoldására jött létre. Főleg azért nem, mert már ezek szépségének és érdekességének értékeléséhez is elegendő számolási rutin kell. Ennek hiányában senki sem kezd foglalkozni a problémával, nem is kezd gondolkodni rajta.

Sokkal egyszerűbben megérthető, a félig-meddig laikusok fantáziáját is megmozgató problémákról tárgyaltunk régen - és kellene tárgyalnunk most is. Persze kell hozzájuk némi matek, de maga a feladat legyen e nélkül is érthető, és keltse fel a figyelmet.

dgy


dgy, ha jól értem, akkor a cél inkább az lenne, hogy 1-1 feladat mögött meglévő fizikai gondolatot, elvet ismerje fel az ember, és ne a szó szerint értendő számítástechnika legyen a megértés korlátja.
persicsb
 
Hozzászólások: 135
Csatlakozott: 2016.03.18. 20:19
Has thanked: 8 times
Been thanked: 30 times
Név: persicsb

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.12. 16:02

ha jól értem, akkor a cél inkább az lenne, hogy 1-1 feladat mögött meglévő fizikai gondolatot, elvet ismerje fel az ember, és ne a szó szerint értendő számítástechnika legyen a megértés korlátja.

Lényegében igen, csak egy kicsit szeretném árnyalni.

A tavalyi politikai botrány miatti kilépések alaposan megritkították és átstrukturálták a fórum közönségét. De a korábbi évek tapasztalatai (és részben más hasonló fórumok megfigyelése) alapján nagyjából az alábbi kategóriák állíthatók fel:

- reménytelen őrültek, önjelölt zsenik, vaskalapos fanatikusok, akik a saját vesszőparipájukat ismétlik, a saját elborult ötleteiket akarják elfogadtatni másokkal, és erre megfelelő platformnak tekintik ezt a fórumot is. Az ilyeneket előbb-utóbb kiveti magából a közösség.

- a fizika és csillagászat eredményei iránt érdeklődő, de természettudományosan és főleg matematikailag nem képzett fórumozók. Ők olvassák a netes lapok fizikai híreit, és ezekkel kapcsolatban tesznek fel kérdéseket. Itt elsősorban azt érzem a feladatunknak, hogy ezeket a híreket helyretegyük, valódi súlyukon kezeljük, lehántsuk róluk a hamis szenzáció burkát, és megmutassuk, mekkora a valódi jelentőségük az adott tudományág fejlődésében. Persze olykor némelyik hírről azt is el kell mondanunk, hogy humbug, újágíró által felfújt szappanbuborék az egész. Az ilyen magyarázatokban nem szabad matekot használni, hanem hasonlatokkal, képekkel, és a tudománytörténeti kontextus felvázolásával kell operálni, persze amellett, hogy röviden és érthetően megpróbáljuk összefoglalni az adott hír tudományos magvát.

- a természettudományokhoz valamennyire értő, de a matematikától ódzkodó fórumozók. Az általuk felvetett kérdések esetén már mélyebben bele lehet menni a téma szaktudományos magyarázatába, lehet használni emellett más tudományágak szakkifejezéseit, analógiáit, és a bonyolultabb, dialektikus gondolatmenet, az egyrészt/másrészt érvelés is belefér, valamint annak hangsúlyozása, hogy a tudományban nincsenek végleges válaszok.

Lényegében ez az a kategória, akikre a te mondatod vonatkozik: számukra kell a problémák mögötti fizikai gondolatot, elvet ismertetni, ennek szépségére, érdekességére, esetleges újdonságára rámutatni, a matematikai részletek megemlítése nélkül.

- mérnökök, informatikusok, vegyészek stb - akik már egyetemi szintű matematikát is tanultak. Itt az a probléma, hogy a legtöbb egyetemi szakon a matematikai képzés rettentően egyoldalú, az analízis alapjaira, differenciál- és integrálszámításra, legfeljebb a differenciálegyenetek elemi használatára terjed ki. Szinte teljesen hiányzik az absztrakt algebra (legfeljebb valami elemi lineáris algebra, jobb esetben mátrixszámítás szerepel), de az analízis fontos fejezetei, pl a variációszámítás vagy a differenciálgeometria, topológia sincsenek benne a tananyagban. Ezért a modern fizikában alapvető szerepet játszó szimmetriamegfontolások, csoportelméleti és algebrai topológiai fogalmak felhasználása, ismertetése előtt mindig vissza kell menni igen elemi szintre, és be kell vezetni az alapfogalmakat. Ez a korábbi kategóriába tartozó olvasók számára túl absztrakt, túlságosan matematikai, az e kategóriába tartozók számára viszont olykor sértő lehet - én ötösre vizsgáztam analízisből, akkor minek magyarázgatják nekem, hogyan kell transzformációkat összeszorozni?

Ennek következtében ez a kategória két élesen elkülönülő alcsoportra oszlik: az egyik rész korábbi matematikai ismereteire építve hálásan fogadja, és igyekszik elsajátítani az ő matematikai tanulmányaiban nem szerepelt fogalmakat, ismereteket, és azok fizikai alkalmazását. Ezért bizonyos értelemben ők a legjobb célközönség. Már nemcsak a problémák fizikai alapelveit lehet velük megismertetni, hanem az alkalmazott matematikai módszereket, gondolatokat is. Ha minden jól megy, sikerül átadni e matematikai módszerek szépségét is, és azt az örömöt, amit az ember érez, amikor egy fizikai gondolathoz legjobban illeszkedő adekvát matematikai fogalmat megtalálja és működteti.

Az egyetemi matematikai alapozottságú fórumozók másik fele viszont sértődött alapállást vesz fel. Úgy érzi, hogy ő birtokában van a matematika egészének, neki ne magyarázzanak, és az általa ismert módszerekkel (legtöbbször elemi differenciálszámítással) minden problémához tartalmasan hozzá tud szólni. Ha nem sikerül, akkor nem ő a hibás, hanem azok, akik ennél cifrább matematikai urizálással akarják kábítani a közönséget. Az ilyenektől származik a szakkifejezésekkel megspékelt hóbortos és értelmetlen, az adott problémának még a felszínét sem súroló hozzászólások zöme. Amit persze ők sem tudnak konzekvensen továbbfejleszteni, ezért vagy mereven ragaszkodnak egy-egy részlethez, vagy hagyják az egészet a fenébe, és másnap (vagy akár ugyanabban a hozzászólásban) valami egész más témához tartozó (illetve nem tartozó), de hasonlóan felszínes ötletet sütnek el. Ezek a hozzászólók könnyen megzavarhatják a korábbi kategóriákba tartozó laikusok fejét - hisze egy matematikai szakkifejezésekkel telirakott, ám teljesen értelmetlen szöveg számukra éppen úgy kínaiul van, mint egy korrekt matematikai-fizikai érvelés. Ezért csodálkoznak, hogy a szakemberek miért nem fogadják el, vagy legalábbis miért nem veszik komolyan X vagy Y hozzászólásait, ötleteit - pedig az ő nyelvükön beszélnek. Nem, nem a mi nyelvünkön beszélnek: egyes szavakat ismernek, de a nyelvtan és a stilisztika szabályait, valamint a könyvtárak tartalmát nem.

- és végül a legritkább fajta: az igazán hozzáértők. Köztük szakfizikusok: welcome! De még örvendetesebb, ha olyanok szólnak hozzá, akik a fizika vagy a matematika egy-egy területét önszorgalomból, nem szakképzésben tanulták meg. Ők már tudják, hogy a matematikához nem vezet királyi út, végigjárták és megszenvedték e nem királyi utak némelyikét, ezért hozzászólásaiknak igen nagy súlya van. Ugyanakkor megvan még bennük az az empátia is, ami a szakképzett emberek jelentős részéből időközben kiveszett: ők még tudják, milyen érzés bizonyos dolgokat nem tudni, nem érteni, milyen szenvedés, de a végén milyen öröm végül mégis megérteni. Ez az élmány, ez az érzelmi háttér legtöbbszür átsüt a hozzászólásaikon. Remélem, nemcsak én érzem így - és nagyon köszönöm az ilyen hozzászólásokat. Ezek remélhetőleg a matematikailag kevésbé képzetteknek is élményt jelentenek, és átadják azt az érzést, hogy a tudomány tényei végül is megérthetők.

A fentiek miatt nem szeretem az olyan feladatokat, mint aminek kapcsán ez a vita elindult. Egy egyszerű matematikai levezetés, ami az egyetemen lehet egy gyakorlat vagy egy zárthelyi tárgya, nem nyújt a beavatatlanoknak sem mélyebb belátást az adott fizikai problémába, képzettség híján pedig a levezetés esetleges szépségeit sem tudják értékelni. Mivel pl a variációszámítás az analízis legtöbb helyen elhanyagolt fejezetei közé tartozik, ezt a levezetést csak az ebben a témában kiművelt, tipikusan fizikus végzettségűek tudják megcsinálni vagy követni - ők meg úgyis tanulták az egyetemen.

Ennek a "maximális idő" feladatnak az érdekessége és Feynmanhoz méltó zsenialitása addig tart, amíg rájövünk, hogy a természet a feldobott kő szabad mozgásával megoldja helyettünk a problémát. Ez a gondolat, ez az élmény remélhetőleg megérinti a matematikailag nem képzetteket is. A tényleges számolás ezután már felesleges, unalmas ujjgyakorlat, és a felsorolt fórumozó kategóriákból nagyon keveseket érdekel.

Az Ortvay verseny feladatai között sok olyan van, amelyen való eltöprengés ehhez hasonló megvilágosodáshoz, "aha"-élményhez vezethet. Magán a versenyen ez persze nem elég, ott tovább is kell számolni. Itt viszont ez felesleges: elég a fizikai ötletig, a nagy gondolathoz eljutni. Persze sajnos vannak kevésbé átütő, gépiesen, nagy ötlet nélkül végigszámolható szürke feladatok is - ezeket igyekszünk kiszűrni, de nem mindig sikerül. Az ilyen feladatokat viszont felesleges a laikus nagyközönségek feladni, mert semmiféle örömet, semmiféle fizikai tanulságot nem találhat benne - a matematikai-technikai részleteket pedig úgysem érti.

dgy

These users thanked the author dgy for the post (total 2):
Tompersicsb
Rating: 22.22%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: =^.^= » 2018.04.12. 23:29

Hát én a szakképzett fizikusokon kívül senkit nem tudok elhelyezni ezekben a dobozokban. És fogalmam sincsen, melyik alatt ki(ke)t érthetsz. (Valamelyiket nekem szántad? Imádom a dobozokat *.*)

(Tegye fel a mancsát, aki meglepődött.)

=^.^= írta:Mi a különbség a két állítás között? Vagyis mit mondanak ki?

Mind a két állítás egy szabadon mozgó kis tömegű tömegpont mozgásáról szól. A különbség az állítások között, hogy más mennyiségek szerepelnek bennük, meg, máshogy néznek ki.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Geodesi ... relativity
Pl ez itt azt állítja, hogy a geodetikus egyenlet levezethető nem csak az extremális öregedés elvéből, de a hatásból, az ekvivalencia-elvől, a paralell transzportból, a satöbbiből.

Iw.
=^.^=
 
Hozzászólások: 148
Csatlakozott: 2017.04.17. 22:51
Has thanked: 18 times
Been thanked: 10 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.13. 00:29

Pl ez itt azt állítja, hogy a geodetikus egyenlet levezethető nem csak az extremális öregedés elvéből, de a hatásból, az ekvivalencia-elvől, a paralell transzportból, a satöbbiből.

A szabad részecske hatásintegráljából és az "extremális öregedés elvéből" való levezetés betű szerint azonos, hiszen a szabad (azaz csak gravitációnak kitett) részecske hatásintegrálja épp az eltelt sajátidővel arányos. Ha az egyiknek keressük a szélsőértékét, vagy a másiknak, ugyanazt a számolást kell elvégeznünk. Pontosabban: az előző mondatból a "betű szerint azonos" kitételt vissza kell vonnom. Az idézett wiki cikk két levezetést tartalmaz ezeknek a szélsőértékeknek a megkeresésére, amelyek tartalmilag azonosak, csak épp "betű szerint" nem azonosak: ugyanazokat a mennyiségeket más betűkkel jelölik. Nyilván két különböző szerző tollából származik a wiki cikk két fejezete.

Ez a tulajdonság (az "extremális öregedés") a specrelben megismert ikerparadoxon általánosítása, egyben az euklideszi egyenesfogalom érdekes megfordítása. Az euklideszi geometriában két pont között a legrövidebb út az egyenes. (Egyébként ezt épp a wiki cikkben közölt levezetéshez hasonló módon lehet precizen bebizonyítani.) Ezzel szemben a specrelben két időszerűen elválasztott pont között a leghosszabb út (pontosabban a leghosszabb sajátidő) az egyenes világvonalon telik el. Az ikerparadoxon szokásos történetében ezt az egyenes világvonalat követi az ikerpár Földön maradó tagja: nem csinál semmit, csak múlik vele az idő. Ikertestvére mindenféle görbe úton jár a téridőben: akárhogy mozog, visszaérkezéséig kevesebb sajátideje telik el, mint az egyenes mentén mozgó ikernek. Ezért hívják olykor a Minkowski-téridőt anti-euklideszinek.

Az áltrel görbült téridejében nincsenek "igazi" egyenesek. Kézenfekvő volt az egyenes fenti tulajdonságát általánosítani: azt nevezzük geodetikus vonalnak, azaz a "legegyenesebb görbének", amely mentén két (időszerűen elválasztott) pont között a leghosszabb idő telik el. Az adott görbe mentén eltelő sajátidőt épp az, a metrikus tenzort is tartalmazó integrál adja meg, amely (egy negatív konstanssal megszorozva) a szabad részecske hatásintegrálját is szolgáltatja. Ezért a hatásintegrál minimuma és a sajátidő maximuma ugyanaz a matematikai probléma.

A variációszámítás illyen esetekben (egy ismeretlen függvénytől függő számérték, az ún. funkcionál szélsőértékét keressük) egy differenciálegyenletet szolgáltat. Ennek a diffegyenletnek a megoldásai lesznek azok a görbék, amelyek (a határpontokhoz való megfelelő illesztés után) a leghosszabb sajáidőt vagy a legkisebb hatást adják.

Az euklideszi egyenesnek azonban van egy másik definíciója is. Vegyük egy pontban az egyenes érintővektorát, majd toljuk el önmagával párhuzamos helyzetben tartva az egyenes mentén. Épp az egyenesnek eme másik pontbeli érintővektorát kapjuk! Ez az egyenes speciális tulajdonsága - próbáljuk meg ugyanezt az eljárást körrel vagy más "görbe" görbével... Mondhatjuk tehát, hogy az egyenes az a görbe, amelynek érintővektorát a görbe mentén önmagával párhuzamosan eltolva az új pontbeli érintővektort kapjuk. (Ha az görbékre országútként gondolunk, az eltolt pontot pedig egy autónak képzeljük, akkor a fenti feltétel azt fejezi ki, hogy egyenes úton haladva nem kell a kormányt se jobbra, se balra forgatnunk, változatlan középhelyzetben tartva épp végighaladhatunk az úton.)

Ha ezt a definíciót fogadjuk el az egyenesre, akkor ezt is általánosíthatjuk a görbült terekre. Ehhez először azt kell megmondani, mit értünk itt "párhuzamos eltoláson". Ez igen bonyolult probléma (lásd a konnexióról szóló cikksorozatot). Riemann-terekben mindenesetre létezik rá egy általánosan elfogadott módszer.

Nevezzük tehát a görbe térbeli általánosított egyenesnek azt a görbét, amelynek érintővektorát a görbe mentén önmagával párhuzamosan eltolva az új pontbeli érintőt kapjuk. Ezt a feltételt formalizálva egy egyenletet kapunk a görbére.

És csodák csodája: ez az egyenlet azonos az "extremális sajátidő" megkövetelésével felállított variációs probléma megoldásaként adódó egyenlettel!

Ha tehát az euklideszi egyenesnek ezt a két, igen eltérő tulajdonságát próbáljuk kiterjeszteni a görbült terekre (sokaságokra), akkor mindkét feltétel ugyanahhoz az egyenlethez, és persze ennek megoldásaként ugyanazokhoz a geodetikus görbékhez vezet. Ez a matematikai eredmény erőteljes érvként hatott abba az irányba, hogy a matematikusok és a fizikusok ezeket a geodetikusokat jó szívvel elfogadják az euklideszi egyenesek örökösének.

Most már csak Newton első törvényét kell elővennünk: a magára hagyott test egyenesen mozog. Az áltrelben a gravitációt nem tekintjük erőhatásnak, ezért a csak a gravitáció hatása alatt mozgó test szabadnak tekinthető. Így mondhatjuk: az áltrelben a magukra hagyott szabad testek geodetikus világvonalon mozognak. És persze ugyanez jön ki a hatásintegrálból is.

Az tehát, hogy a geodetikusok egyenlete többféle módon, több matematikai kiindulópontból is levezethető, nem hiba, hanem erény, hiszen csak megerősíti azt az elképzelést, hogy a geodetikusok a görbült sokaságokon valóban az euklideszi egyenesek teljes jogú örökösei.

Van még egy harmadik levezetés, amivel kapcsolatban a beidézett wiki cikk téved. A geodetikus mozgás görbéjének egyenlete ugyanis tényleg levezethető a gravitációs térre, azaz a téridő görbületére vonatkozó Einstein-egyenletekből, pontosabban az Einstein-egyenletek jobboldalán szerepő energiaimpulzus-tenzor divergenciamentességéből. A neveztes állítás (amely nem Einsteintől származik, hanem már halála után vezették le) szerint egy olyan test, amely korlátos méretű, kicsi a téridő helyi görbületi sugarához képest, és nem sugároz ki magából energiát vagy impulzust (azaz tőle bizonyos távolságban a téridő már üres, az energiaimpulzus-tenzor nulla) - szóval az ilyen test anyagától függetlenül egy geodetikus világvonal mentén mozog.

Ez a látszólag semleges matematikai eredmény emberileg igen elszomorító. Ha jól olvassuk, azt jelenti, hogy soha nem fogunk antigravitációs gördeszkát vagy hasonló szerkezetet készíteni. Ha minden test egyformán esik a gravitációs térben, akkor nem lehet olyan speciális anyagokat keresni, amivel a gördeszkát bekenhetjük, hogy esés helyett emelkedni kezdjen... Sajnos ezt következik az áltrel egyenleteiből.

dgy

These users thanked the author dgy for the post:
api
Rating: 11.11%
 
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.13. 00:33

Valamelyiket nekem szántad? Imádom a dobozokat *.*

Téged a legutolsó, matematikailag az átlagnál képzettebbek kategóriájába soroltalak. Ha sértő lenne, elnézést.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.15. 19:34

Most egy kicsit ellentmondok a korábbi hozzászólásaimnak, és azokhoz fordulok, akik szeretik ténylegesen végigszámolni az áltreles feladatokat.

Tegyük fel, hogy a legújabb mérések megcáfolják a 19. és a 20. század csillagászait: kiderül, hogy a Naprendszerben az utolsó tizedesig igaz a newtoni fizika, a Merkur mozgása, a fény elhajlása, a GPS-műholdak keringése mind pontosan megfelel a Newton által felállított törvényeknek. Ugyanakkor más, távolabbi objektumokra vonatkozó megfigyelések alapján tudjuk, hogy az áltrel is igaz.

Az ellentmondást Lee ben Canal, a messewani egyetem ismert kutatója úgy próbálja feloldani, hogy feltételezi: a Naprendszert egy ismeretlen, közönséges méréseink által nem észlelhető szubsztancia (az úgynevezett "legsötétebb anyag") tölti ki (az egyszerűség kedvéért gömbszimmetrikus eloszlásban, és a Naphoz képest nyugalomban) - és ennek extra térgörbítő hatása okozza azt, hogy Naprendszer fizikája az áltrelen belül szimulálja a klasszikus fizika eredményeit.

Határozzuk meg a legsötétebb anyag eloszlását és állapotegyenletét (azaz az energiasűrűsége és nyomása közti összefüggést)!

(Elég a bolygók mozgására koncentrálni, a fény viselkedését nem kell vizsgálni.)

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.17. 12:34

Abban egyetértünk, hogy teljesen nyilván nem adja vissza az áltrel a klasszikus newtoni világot. Ezért koncentrálunk a bolygók mozgására.

Az elgondolásod alapjaiban jó, egy helyen nem értünk egyet:
Ezt meg úgy állítom be, hogy r távolságban GM/r2 sajátgyorsulással lehessen állni.

Miért pont a sajátgyorsulás? Ha a bolygó pályáját kívülről, a végtelenből nézem, és vissza akarom kapni a newtoni mozgást, akkor szerintem a rendszeridő szerint számított gyorsulást kellene azonosnak venni a klasszikussal, abból jön ki a newtoni ellipszispálya.

Előrebocsátom, én sem számoltam még végig a feladatot, nem tudom, mi fog kijönni az energiaimpulzus-tenzorra, de ezt a lépést kézenfekvőnek érzem.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.19. 22:30

Én is elkezdtem utánaszámolni.

Nem jutottam messzire, de azt biztosnak érzem, hogy teljesen nem lehet reprodukálni a klasszikus mozgást, tehát az [Renderelés ... r(t)], [Renderelés ... \varphi(t)] és [Renderelés ... r(\varphi)] függvényeket egyaránt visszakapni, akármit is értsünk a [Renderelés ... t] változón.

OFF: Az általad idézett állítás szerintem nem megfordítható. Lehetséges (de nem biztos), hogy bármely áltreles mozgáshoz ki tudunk találni olyan klasszikus erőtörvényt, ami ugyanerre a mozgásra vezet. De nem minden klasszikus mozgáshoz tudunk kitalálni olyan téridőt, amiben ez a mozgás geodetikusan megvalósítható.

Persze pontosabban meg kell fogalmazni az utóbbi állítást. Ha megpróbálunk utánaszámolni, a klasszikus mozgás reprodukálásához szükséges téridő metrikájának paraméterei között általában benne marad egy - a klasszikus mozgás kezdőfeltételei által meghatározott - energiaparaméter. Tehát mondjuk lehetséges olyan görbült téridő, amiben a Föld klasszikus pályája megvalósulhat, de ugyanabban a téridőben a Marsé már nem. Egy másik metrikájú téridőben a Mars klasszikus pályája lehetséges, de a Földé nem. Stb.

Mindezek miatt a feladat eredeti, hevenyészett megfogalmazása nem tartható.
ON.

Ezért most jelentősen szűkítem a problémát - érzésem szerint így már elég korrekt, és megoldható lesz. A feladatot a Naprendszeren kívülről érkezett Oumuamua kisbolygóra és rokonaira korlátozzuk.

A feladat javított verziója:

Keressünk olyan gömbszimmetrikus téridőt, amelyben egy klasszikus gömbszimmetrikus gravitációs térbeli parabolapályák mint geodetikus mozgások pályái megvalósulhatnak. A mozgás időbeli lefolyását nem kell reprodukálni. Milyen gömbszimmetrikus anyageloszlás hozhatja létre ezt a téridőt, és mi a létrehozó anyag állapotegyenlete? Az áltrel egyenleteit (a kozmológiai állandó nélkül) érvényesnek tekintjük.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Re: Maximálisan eltelt idő

HozzászólásSzerző: dgy » 2018.04.23. 22:57

Alapprobléma:

Vegyünk a Schw-félénél kissé általánosabb, gömbszimmetrikus téridőt ([Renderelés ... c=1]):

[Renderelés ... ds^2=A(r) dt^2-B(r)dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2)]

Ha ebből kiszámítjuk a konnexiós együtthatókat, majd levezetjük a geodetikus egyenleteket, azoknak meg lehet találni 4 első integrálját:

[Renderelés ... K=A(r) \dot{t}]
[Renderelés ... J = r^2\sin^2\theta\, \dot{\varphi}]
[Renderelés ... L^2=r^4(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\,\dot{\varphi^2})]
[Renderelés ... u^2=1=A(r) dt^2-B(r)\dot{r}^2-r^2(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\, \dot{\varphi}^2)]

A pontok a [Renderelés ... \tau] sajátidő szerinti deriválást jelentik.

Vezessük be az [Renderelés ... \omega=d\varphi/dt] keringési szögsebességet.

A fenti egyenletekből levezethető, hogy körpálya esetén az [Renderelés ... r\,\omega^2] centrifugális gyorsulás [Renderelés ... A'(r)/2]-vel egyenlő - akárcsak Newtonnál.

A centrum felé történő radiális zuhanás esetén viszont a sajátidő szerint képzett [Renderelés ... \ddot{r}] radiális gyorsulás fejezhető ki az [Renderelés ... A(r)] és [Renderelés ... B(r)] függvények deriváltjaival, valamint a [Renderelés ... K] integrációs állandóval.

A probléma kettős:

- ha a klasszikus mozgást akarjuk szimulálni valamilyen jól megválasztott [Renderelés ... A(r)] és [Renderelés ... B(r)] függvények felhasználásával, akkor a fenti két kifejezésnek ugyanazon időváltozóval felírt deriváltakkal kellene fennállnia, de az egyikben a rendszeridő, a másikban a sajátidő szerinti derivált szerepel.

- a radiális gyorsulás képletében benne marad a [Renderelés ... K] integrációs állandó, holott Newtonnál ennek univerzálisnak, a mozgás kezdeti feltételeitől függetlennek kellene lennie. A [Renderelés ... K] konstans csak akkor esik ki, ha [Renderelés ... A(r)\,B(r)] konstans értéket ad - a Schw-esetben ez a helyzet, de ezzel nagyon leszűkítjük a lehetséges ívelemnégyzetek körét.

Ha viszont nem a teljes mozgást, azaz annak időbeli lefolyását kívánjuk rekonstruálni, csak a pályát, akkor létezik megoldás - sajnos ez is függ a [Renderelés ... K] integrációs állandótól.

Lehet tovább törpölni.

dgy
Avatar
dgy
 
Hozzászólások: 1737
Csatlakozott: 2014.03.12. 21:40
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 111 times
Been thanked: 832 times

Előző

Vissza: Ortvay Rudolf verseny feladatai

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 2 vendég