Oldal: 1 / 1

Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2016.04.04. 15:39
Szerző: juzer
Kiváncsi voltam, hogy a rezgő húr klasszikus mechanikai megoldásánál a hatás hogy viselkedik.
Fogtam egy megoldást, aminek szerintem minimalizálnia kell: z0(t, x) = sin(x) cos(t), ahol a húr 0-tól PI-ig tart, a két vége rögzítve.
Megvariáltam a megoldást: [Renderelés ... z(t, x) = sin(x) cos(t) + \epsilon (t, x)]
[Renderelés ... \epsilon] kis helyen különbözik csak nullától és a húr szélein nulla.

[Renderelés ... L = \int_0^{\pi} (\frac{\partial z}{\partial t})^2 - (\frac{\partial z}{\partial x})^2 dx]

Ebbe beírtam z-t:

[Renderelés ... L = \int_0^{\pi} (-sin(x) sin(t) + \partial_t \epsilon )^2 - (cos(x) cos(t) + \partial_x \epsilon )^2 dx =]

[Renderelés ... = \frac{\pi}{2} (sin^2 (t) - cos^2 (t)) + \int_0^{\pi} (\partial_t \epsilon)^2 - (\partial_x \epsilon)^2 dx -]

[Renderelés ... - 2 \int_0^{\pi} sin(x)sin(t) \partial_t \epsilon + cos(x)cos(t) \partial_x \epsilon dx]

Az utolsó tag nulla, így:

[Renderelés ... L = \frac{\pi}{2} (sin^2 (t) - cos^2 (t)) + \int_0^{\pi} (\partial_t \epsilon)^2 - (\partial_x \epsilon)^2 dx]

Ha [Renderelés ... S = \int_0^T L dt] -be teszem ezt, akkor az [Renderelés ... \epsilon] -t tartlamazó tag előjele bármilyen lehet.

Ez mit jelent? Képzetesbe kellett volna forgatni az idot?

Re: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2016.04.04. 22:49
Szerző: dgy
Ez mit jelent?

1/ Az [Renderelés ... \epsilon]-ban és deriváltjaiban másodfokú kifejezéseket a variációszámításban el szoktuk hanyagolni, a hatásintegrálokat a függvény variációjában csak elsőrendű tagokig kell vizsgálni.

2/ Az általad nullának vett, elsőrendű tagokat tartalmazó utolsó sor nem nulla, hiszen [Renderelés ... \epsilon] is függ a helytől. Parciális integrálással el kell távolítani a deriváltakat úgy, hogy csak maga az [Renderelés ... \epsilon] mennyiség szerepeljen a megmaradó integrálokban. Még mindig nem kapunk nullát. Ezért az [Renderelés ... \epsilon] perturbációt a határfeltételeket kielégítendő a helykoordináta szerint Fourier-sorba kell fejteni:

[Renderelés ... \epsilon(x,t)= \sum_n{f_n(t)\,sin(nx)}]

Ezután el lehet végezni az integrálást - a különböző szinuszok ortogonalitása miatt csak az [Renderelés ... n=1]-es tag nem lesz nulla. Ez viszont összevonható az eredeti függvényeddel, hiszen csak a [Renderelés ... \sin(x)] amplitudóját növeli. Egy ilyen perturbáció lineáris Euler-Lagrange-diffegyenletet kielégítő esetben elfogadható, hiszen a megoldás számszorosa is megoldás.

dgy

Re: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2016.04.05. 14:14
Szerző: juzer
dgy írta:
Ez mit jelent?

1/ Az [Renderelés ... \epsilon]-ban és deriváltjaiban másodfokú kifejezéseket a variációszámításban el szoktuk hanyagolni, a hatásintegrálokat a függvény variációjában csak elsőrendű tagokig kell vizsgálni.

2/ Az általad nullának vett, elsőrendű tagokat tartalmazó utolsó sor nem nulla, hiszen [Renderelés ... \epsilon] is függ a helytől. Parciális integrálással el kell távolítani a deriváltakat úgy, hogy csak maga az [Renderelés ... \epsilon] mennyiség szerepeljen a megmaradó integrálokban. Még mindig nem kapunk nullát. Ezért az [Renderelés ... \epsilon] perturbációt a határfeltételeket kielégítendő a helykoordináta szerint Fourier-sorba kell fejteni:

[Renderelés ... \epsilon(x,t)= \sum_n{f_n(t)\,sin(nx)}]

Ezután el lehet végezni az integrálást - a különböző szinuszok ortogonalitása miatt csak az [Renderelés ... n=1]-es tag nem lesz nulla. Ez viszont összevonható az eredeti függvényeddel, hiszen csak a [Renderelés ... \sin(x)] amplitudóját növeli. Egy ilyen perturbáció lineáris Euler-Lagrange-diffegyenletet kielégítő esetben elfogadható, hiszen a megoldás számszorosa is megoldás.

dgy


Köszönöm, így már minden érthető. Egyébként az utolsó tag eltűnésénél azzal követtem el hibát, hogy mindkét tagot parciálisan integráltam x szerint, az idő szerinti deriválást x szerintinek nézve ...

Re: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2016.04.06. 10:09
Szerző: juzer
dgy írta:
Ez mit jelent?

1/ Az [Renderelés ... \epsilon]-ban és deriváltjaiban másodfokú kifejezéseket a variációszámításban el szoktuk hanyagolni, a hatásintegrálokat a függvény variációjában csak elsőrendű tagokig kell vizsgálni.

2/ Az általad nullának vett, elsőrendű tagokat tartalmazó utolsó sor nem nulla, hiszen [Renderelés ... \epsilon] is függ a helytől. Parciális integrálással el kell távolítani a deriváltakat úgy, hogy csak maga az [Renderelés ... \epsilon] mennyiség szerepeljen a megmaradó integrálokban. Még mindig nem kapunk nullát. Ezért az [Renderelés ... \epsilon] perturbációt a határfeltételeket kielégítendő a helykoordináta szerint Fourier-sorba kell fejteni:

[Renderelés ... \epsilon(x,t)= \sum_n{f_n(t)\,sin(nx)}]

Ezután el lehet végezni az integrálást - a különböző szinuszok ortogonalitása miatt csak az [Renderelés ... n=1]-es tag nem lesz nulla. Ez viszont összevonható az eredeti függvényeddel, hiszen csak a [Renderelés ... \sin(x)] amplitudóját növeli. Egy ilyen perturbáció lineáris Euler-Lagrange-diffegyenletet kielégítő esetben elfogadható, hiszen a megoldás számszorosa is megoldás.

dgy


Abban az esetben, ha [Renderelés ... f_1 = 0] minden t-re, ezt kapom:

[Renderelés ... L = \frac{\pi}{2} (sin^2 t - cos^2 t) + \int_0^{\pi} (\partial_t \epsilon)^2 - (\partial_x \epsilon)^2 dx]

Ha csinálok egy [Renderelés ... t \rightarrow it] helyettesítést, akkor ez alkalmas lesz a z0 megoldás extremitásának bizonyítására?

Re: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2016.04.06. 12:39
Szerző: dgy
Ha csinálok egy t→it helyettesítést, akkor ez alkalmas lesz a z0 megoldás extremitásának bizonyítására?

Felesleges. Ez máris bizonyít. A kvadratikus tagokat el kell hanyagolni, [Renderelés ... \epsilon]-ban lineáris tagok nincsenek - tehát a variáció elsőrendben zérus. Ezt kellett "bizonyítani", vagy inkább demonstrálni.

A hatás nem feltétlenül extremális, csak stacionárius (pl lehet vízszintes érintőjű inflexiós pontja valamelyik paraméter függvényében). De a variációs elvek csak ennyit követelnek meg.

Ha egy konkrét esetben csak annyit mutatsz meg, hogy a perturbációban lineáris tagok kiesnek, máris készen vagy. Itt ez történt.

dgy

RE: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2021.03.07. 21:25
Szerző: Zsolt68
Azt hittem, hogy legalább a klasszikus fizikát értem. :?
force1.png
force1.png (186.3 KiB) Megtekintve 1184 alkalommal.
Ez most melyik erő?
force2.png
force2.png (112.46 KiB) Megtekintve 1184 alkalommal.
:roll:

Re: Variációs elvek

HozzászólásElküldve: 2021.03.07. 22:49
Szerző: G.Á
Az az erő, ami egy egydimenziós skalárpotenciálból van származtatva.