Kísérleti fizika

A fórum törzse, az érdeklődök kérdéseinek színhelye.

Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.06.25. 06:00

Nagy- és kisérleti fizika (mérnök módra)...
Adott egy fizikai rendszer, aminek bizonyos paramétereit mérjük.
(A mérnök feladata egy ilyen vizsgáló berendezés elkészítése. "Szakértő az nem volt." (c) Muppet Show)
Időfüggvényeket mérünk, de a közöttük lévő összefüggést kell ábrázolni: a gyorsulást és a teljesítményt a sebesség függvényében.
Nem tudom eldönteni, hogy a probléma fizikai vagy matematikai jellegű.

A sebességmérés pontossága 0.1% körül van, viszont az ebből számított gyorsulás hibája időnként nagyságrendekkel nagyobb (így nyilván a szorzat hibája is). Ránézésre mindig pozitív irányban vannak a kiugró értékek.
Felmerült az a lehetőség, hogy ablakfüggvényekkel szűrjük meg a mért értékeket. Ez a módszer nem vezetett eredményre. A véletlen (?)mérési(?) hibákat nem szüntette meg, viszont a két vizsgált mennyiség közötti összefüggést jelentősen eltorzította. Szerintem a mérési bizonytalanságot átlagosással csak statikus mérés esetén lehet kiszűrni.
Felmerült egy másik lehetőség is, 10001 mérési pontra illesszünk tízezred fokú polinomot, ami sokkal rosszabb eredményt adott.
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.25. 11:56

Gyorsulást általában nem a sebességből kiszámítva mérünk.
A deriválást (vagy inkább differenciahányados képzést) a legegyenesebben alkalmazva az adathalmazainkra, nagy hibákat kapunk, amit nem biztos hogy az átlagolás kellően feljavít.

Egyszerűen csak közvetlenül kell a gyorsulást mérni egy más típusú szenzorral.
Erre léteznek piezoelektromos, vagy kondenzátoros és más megoldások.

These users thanked the author G.Á for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.06.27. 07:10

G.Á írta:A deriválást (vagy inkább differenciahányados képzést) a legegyenesebben alkalmazva az adathalmazainkra, nagy hibákat kapunk, amit nem biztos hogy az átlagolás kellően feljavít.

A mozgóablakos átlagolás kudarca után jött az ötlet, hogy illesszünk polinomot. Természetesen az még rosszabb eredményt adott. :(

Mit is jelent a polinom illesztés?
Van N+1 mérési pontunk, ahol adottak az (x;y) értékpárok. Erre lehet illeszteni N-ed fokú polinomot. Keressük a polinom együtthatóit.
Ki kell számolni a független változó megfelelő hatványait minden pontban, és behelyettesíteni egy lineáris egyenletrendszerbe.
Általában a rabszolga munkát egy kész program elvégzi helyettünk ész nélkül.
(Természetesen itt nem csak hatványfüggvény lehetne, a mátrix oszlopaihoz elvileg másfajta függvényeket is rendelhetünk.)
Nagyobb fokszámok esetén a módszer egyre rosszabb eredményt ad, a mért görbe kisimítása helyett sokkal hullámosabb ábrát kapunk.
(Sőt, a görbe kisimítását egyáltalán nem is várhatjuk.)
Véleményem szerint ennek két oka van.
Egy bizonyos fokszámig működik az illesztés. A megadott helyeken a görbét beszorítjuk az adott pontokba, közöttük viszont nincs megkötés. A polinom fokszámának megfelelő számú lokális minimumok és maximumok általában két mérési pont közé fognak esni az x-tengelyen, az y értékek viszont jelentősen eltérhetnek. Simítás helyett hullámosabbá válik a görbe. De amíg az illesztés működik, addig ezt nem vesszük észre, mert csak a megadott pontokon ábrázoljuk a görbét.
Egy bizonyos fokszám felett felhalmozódnak a véges számábrázolásból adódó kerekítési pontatlanságok. A számított polinom lecsatolódik a megadott pontokról, és akkor már a megadott helyeken is jelentős eltérések lesznek. Elszabadul a polinom.
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.27. 10:49

Polinomok illesztése, bár erre nem esküdnék meg, de szerintem a numerikusan stabilan algoritmizálható.

De a polinom-illesztés csak annyira képes, amennyire a neve is utal, és az hogy nagy N-edfokú polinom adott esetben élesen fel/leugrik az utolsó és első adatpontoknál, egyáltalán nem meglepő.

Ellenben polinom-illesztésnek csak akkor van értelme ha előre tudod hogy mit is vársz. Általában persze nem is biztos hogy bármilyen elemi függvény illeszthető.

Szerk: Ez utóbbit nem matematikai értelemben kell érteni. Természetesen illeszthető tetszőleges függvény egy adott adathalmazra, csak általában jóval nagyobb hibával, mint amennyi a mérést jellemzi.
A hozzászólást 2 alkalommal szerkesztették, utoljára G.Á 2017.06.29. 13:25-kor.

These users thanked the author G.Á for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.06.27. 12:15

G.Á írta:Polinomok illesztése, bár erre nem esküdnék meg, de szerintem a numerikusan stabilan algoritmizálható.

Egy bizonyos fokszámig. Tízezres nagyságrendben már biztosan nem.
Tegyük fel, hogy egyesével növekszik az x értéke minden mérési pontnál. Akkor a mátrix utolsó oszlopába már [Renderelés ... 10000^{10000}] kellene szerepeljen. A számábrázolásba nem fér bele. (Kíváncsi lennék, hogy a csillagászok hogyan kezelnek ekkora számokat.) Persze ez renormálással kezelhető, mondjuk a lépésköz legyen 0.001 és induljon 1-től (különben kiakad a hatványozás), na de akkor kerekítési pontatlanságok lesznek. [Renderelés ... (1+0.001)^{10000}] binomiális tétellel kifejltve jó sok tagot kapunk, miközben az értékes bitek száma sokkal kevesebb.

G.Á írta:és az hogy nagy N-edfokú polinom adott esetben élesen fel/leugrik az utolsó és első adatpontoknál, egyáltalán nem meglepő.

Nem csak az első/utolsó elemnél.
3 pontra: https://www.wolframalpha.com/input/?i=polynomial+fit+%7B1,2,1%7D
9 pontra: https://www.wolframalpha.com/input/?i=polynomial+fit+%7B1,2,2,2,2,2,2,2,1%7D lám ez nem is hajlandó negyedfokúnál magasabbat illeszteni
(Így nehezen tudom szemléltetni. N-ed fokú polinomnak N-1 számú szélsőértéke lehet általános esetben. Amíg a kerekítési hibák kicsik, addig a görbe jól illeszkedik a megadott pontokra, viszont közben erősen hullámozhat. Jelentősebb kerekítési hibáknál már a megadott pontokra sem tud jól illeszkedni. Engem ez arra emlékeztet, mint amikor a hullámfüggvényt próbáljuk túlságosan szűk helyre beszorítani.)

G.Á írta:Ellenben polinom-illesztésnek csak akkor van értelme ha előre tudod hogy mit is vársz. Általában persze nem is biztos hogy bármilyen elemi függvény illeszthető.

Na erről van szó, alkalmatlan a módszer (de nem én választottam). Egy sima görbét akartak kapni, ehelyett sokkal hullámosabb lett.
Persze másképp is lehetett volna polinomot illeszteni (csak arra nem volt konyhakész algoritmus).
A polinom fokszámával elindulunk 1-től a mérési pontok számáig. Ez már eleve jó sok számítás.
Az együtthatókat pedig nem a nyers erő módszerével számítjuk, hanem egy (majdnem tetszőleges) kiinduló állapotból a legkisebb hibanégyzet felé iterálunk. Ez még több számítás, és az eredményben nem vagyok benne biztos.

G.Á írta:A deriválást (vagy inkább differenciahányados képzést) a legegyenesebben alkalmazva az adathalmazainkra, nagy hibákat kapunk, amit nem biztos hogy az átlagolás kellően feljavít.

Azon gondolkozok, hogy a simítás miért nem volt jó...
A szimuláció azt mutatja, hogy több tizedes pontossággal kellett volna mérni. Az átlagolás látszólag növeli az értékes jegyek számát, de annak kicsi az esélye, hogy ez a pontosabban mért értékhez közelítene. Egyszerűen két pontatlan mérési eredmény átlaga ugyanúgy pontatlan marad egy időfüggvény esetén. (Szerintem az átlagolás csak akkor javítana a helyzeten, ha közben a mérendő érték változatlan maradna, és a véletlen mérési hibákat kiátlagolnánk.)
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.06.28. 06:00

G.Á írta:Ellenben polinom-illesztésnek csak akkor van értelme ha előre tudod hogy mit is vársz. Általában persze nem is biztos hogy bármilyen elemi függvény illeszthető.

Tegnap este kezdtem nézni DGy 2009-es előadásait, és ott mondott valami érdekeset az általános erőtörvényről.
(Volt egy megjegyzése, hogy az elsősök csak az egyenletesen gyorsuló mozgást tudják leírni. Talán nem tanulták még az integrálást.)
Na itt is egy általános esetről van szó, a mechanikai rendszer gyorsító képességét kellett (volna) vizsgálni a sebesség és a terhelés függvényében. (A terhelés változtatható, de egy kísérlet során állandó - tehát paraméter.) Szóval a gyorsulást egy összetett rendszer bonyolult működése adja, sok elemi folyamat határozza meg. Illetve korlátozza, hogy ne legyen egyenletes a gyorsulás. A mechanikai alkatrészek véges sebességgel tudnak mozogni, illetve a vezérlő elektronikának is vannak késleltető hatásai.
A meghatározó elemek száma véges (mármint végtelennél kevesebb), ezért esetleg Taylor polinommal lehetne közelíteni. Szuperpozíció esetén mindenképpen, viszont a vezérlésben lévő visszacsatolások miatt feltehetően a nevezőbe is kerülnek tagok. Sebaj, polinomot is lehet osztani... (Lásd: Hurwitz)
Utólag úgy vélem, erős túlkapás volt a polinom fokszámát tízezres nagyságrendben keresni. Esetleg elegendő lett volna 42 is. :roll:
Na de hogyan illesszünk tízezer mérési pontra alacsonyabb fokszámú polinomot? Lineáris algebrával N+1 mérési pont kell. Hogyan válogassak ki tízezer mérési pontból néhányat? Ez így nem fog menni. Marad a fokozatos közelítések módszere. Csináltam már olyat is, elég sokáig kellett a gépnek számolnia.
Esetleg a két módszer kombinálható, az iterációkhoz a kezdeti állapotot úgy határozhatjuk meg, hogy véletlenszerűen kiválasztunk néhány pontot a tízezer közül, és azokra lineáris algebrával meghatározzuk az együtthatókat, utána a megoldást a legkisebb hibanégyzet módszerével finomítjuk.
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.06.28. 12:35

És most egy kis spektroszkópia (színképelemzés).

Legyen három vegytiszta mintánk, és a negyedik ezek ismeretlen keveréke.
Tegyük fel, hogy a vizsgált hullámhossz tartományban a három fémhez egy-egy különböző spektrum vonal tartozik.
Csillagászok számára a hidrogén után már állítólag minden anyag fém.

Vezessük be az alábbi jelöléseket:
[Renderelés ... \lambda_i]: hullámhossz
[Renderelés ... x_i]: az ismert tiszta mintához tartozó színkép vonal intenzitása
[Renderelés ... y_i]: az ismeretlen keverék mintához tartozó színkép vonal intenzitása
[Renderelés ... a_i]: az ismeretlen anyag koncentrációja

[Renderelés ... a_1 = y_1 / x_1]
[Renderelés ... a_2 = y_2 / x_2]
[Renderelés ... a_3 = y_3 / x_3]

Sajnos a spektroszkóp felbontása általában nem elegendő az egyes színkép vonalak feloldásához,
illetve (részben ennek következtében) a különböző anyagok színkép vonalai átfedhetnek.

Legyen [Renderelés ... x_{ij}] az i-edik ismert mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása, [Renderelés ... y_j] pedig az ismeretlen mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása.
Írjunk fel lineáris egyenletrendszert:
[Renderelés ... y_j = \Sigma ( a_i \cdot x_{ij} )]
ahol i a minta száma, j pedig a spektrum vonal száma. Összegzés i szerint, vagyis függőlegesen.

Megoldhatnánk az egyenletrendszert, de nekem jobb ötletem van. :twisted:
Vegyük figyelembe a mérési bizonytalanságokat. Írjuk fel a lineáris regressziót tenzor alakban.
[Renderelés ... \Sigma ( a_i \cdot x_{ij} - y_j )^2]
Itt j szerint összegzünk és [Renderelés ... a_i] szerint parciálisan deriválunk.
(A hagyományos regresszió két paraméteres, itt viszont már magasabb dimenziókba tévedtünk.)
[Renderelés ... \Sigma ( ( a_i \cdot x_{ij} )^2 + y_j^2 - 2 \cdot y_j \cdot x_{ij} \cdot a_i )]
[Renderelés ... a_i^2 \cdot \Sigma x_{ij}^2 + \Sigma y_j^2 - 2 \cdot \Sigma ( y_j \cdot x_{ij} \cdot a_i )]

[Renderelés ... 2 \cdot a_i \cdot \Sigma x_{ij}^2 - 2 \cdot \Sigma ( y_j \cdot x_{ij} ) == 0]
Egyszerűsítünk 2-vel
[Renderelés ... a_i \cdot \Sigma x_{ij}^2 = \Sigma( y_j \cdot x_{ij} )]

[Renderelés ... a_i = \Sigma( y_j \cdot x_{ij} ) / \Sigma x_{ij}^2]

Vezessük be az alábbi rövidítéseket:
[Renderelés ... X2_i = \Sigma x_{ij}^2]
[Renderelés ... YX_i = \Sigma ( y_j \cdot x_{ij} )]
ahol az összegzést j szerint végezzük

[Renderelés ... a_i = YX_i / X2_i]

Ultra voila :geek:
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.06.30. 17:26

Amíg a kerekítési hibák kicsik, addig a görbe jól illeszkedik a megadott pontokra, viszont közben erősen hullámozhat. Jelentősebb kerekítési hibáknál már a megadott pontokra sem tud jól illeszkedni. Engem ez arra emlékeztet, mint amikor a hullámfüggvényt próbáljuk túlságosan szűk helyre beszorítani.)


Amit a numerikus hibákról írsz az akár igaz is lehet, bár gondolom rendszerint előre rögzítenek egy hibaértéket, és ha annál nagyobb lenne az eltérés, akkor pontosabban fut le az algoritmus.
Ha ez számítástechnikai okokból nem lehetséges, akkor persze lehet komoly eltérés, de azt a program jó esetben tudatja.

A hullámfüggvényes hasonlatnak viszont nincsen sok köze ehhez, bár kétségtelen hogy a Dirac-delta numerikus kezelése nemtriviális.

Kicsit átírtam a mathematica parancsot, így már kísérletezhetsz vele:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=9+order+polynomial+fit+%7B1,2,3,1,2,2,4,2,1,5%7D


A spektroszkópia, amennyire én tudom, elsősorban valóban a (lineáris és nemlineáris) regresszió módszereit használják, de úgy veszem észre hogy te itt most csak az egyváltozós (egykomponensű) esetre vezetted le az eredményt, mert egyébként a lineáris regresszióban kétszeres szummának kellene szerepelnie, de nyugodtan javíts ki ha tévedek.

These users thanked the author G.Á for the post:
Zsolt68
Rating: 11.11%
 
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

inverz átlag

HozzászólásSzerző: Zsolt68 » 2017.08.16. 16:05

Van egy futószalag, ami [Renderelés ... l] hosszúságú és [Renderelés ... v] sebességgel mozog.
A bemenetén valamilyen időfüggvény szerint adagolnak [Renderelés ... dm_1(t)] tömegű anyagot.
Először egyszerűsítve írom...
A kimenetén elvileg távozik [Renderelés ... dm_3(t) = dm_1(t-l/v)] tömegű anyag. Persze vannak komplikációk.
Részben az, hogy a keverés miatt valamennyi ellenkező irányú anyagtranszport is lehet. Ennek az időfüggése ismeretlen.
Továbbá ehhez az alapanyaghoz hozzá kellene keverni [Renderelés ... dm_2(t) = k \cdot dm_1(t)] segédanyagot, ahol [Renderelés ... k] egy adott arányossági tényező (konstans). A probléma az, hogy [Renderelés ... dm_1] nem ismert. Továbbá az adalékot nem pont az elején adják hozzá. És sajnos mérni csak a futószalagon lévő anyag teljes súlyát tudjuk.
Valahogy az időátlag inverzét kellene képezni... :cry:

(Nem lenne gond, ha ez egy tartályban gyűlne, és akkor a mért súly időbeli differenciálját vehetném. De mivel a szalagról ismeretlen mennyiségű anyag távozik is, így nem tudok vele mit kezdeni.)
Zsolt68
 
Hozzászólások: 761
Csatlakozott: 2017.05.21. 20:50
Tartózkodási hely: Budapest
Has thanked: 379 times
Been thanked: 16 times
Név: Zsolt68

Re: Kísérleti fizika

HozzászólásSzerző: G.Á » 2017.08.16. 19:04

Nem tettél fel kérdést.
Mindenesetre az esetleges keveredés hatását (egyenlőtlenségek csökkenése) legegyszerűbben talán egy simítófüggvénnyel való konvolúcióval veheted figyelembe.
Mindenesetre a bemenetet gyakorlatilag sem lehet túl nagy probléma mérni, ha az időfüggés nem túlságosan változó.
Ha viszont számítógépesen történik a kezelés akkor elvileg ismertnek kell lennie.
G.Á
 
Hozzászólások: 1216
Csatlakozott: 2016.12.25. 15:27
Has thanked: 58 times
Been thanked: 317 times

Következő

Vissza: Elméleti fizikai kérdések, problémák

Ki van itt

Jelenlévő fórumozók: nincs regisztrált felhasználó valamint 3 vendég

cron